有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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$2$ 次曲線の内外に接する多角形

チャップル=オイラーの定理

定理《チャップル=オイラーの定理》

 三角形の外心を $\mathrm O,$ 内心を $\mathrm I,$ 外接円の半径を $R,$ 内接円の半径を $r$ とおくと, \[\mathrm{OI}^2 = R^2-2Rr\] が成り立つ.

証明

 こちらを参照.

ポンスレの閉形定理

定理《ポンスレの閉形定理》

 $2$ 次曲線 $C,$ $D$ に対して, $C$ に内接し, $D$ に外接する $n$ 角形が $1$ つでも存在するならば, $C$ 上の任意の点 $\mathrm P_1$ を $1$ つの頂点とし, $C$ に内接し, $D$ に外接する $n$ 角形が存在する. つまり, 点 $\mathrm P_k$ から $D$ に引いた接線と $C$ の交点 $(\neq \mathrm P_k)$ を $\mathrm P_{k+1}$ とおくことで点 $\mathrm P_2$ $\cdots,$ $\mathrm P_n,$ $\mathrm P_{n+1}$ を順次定めると, $\mathrm P_{n+1} = \mathrm P_1$ となり, $C$ に内接し, $D$ に外接する $n$ 角形 $\mathrm P_1\mathrm P_2\cdots \mathrm P_n$ が得られる.

高校数学の問題

図形と計量

問題《チャップル=オイラーの定理》

 次のことを示せ.
(1)
点 $\mathrm O$ を中心とする半径 $R$ の円周の弦 $\mathrm{XY}$ 上のすべての点 $\mathrm P$ に対して \[\mathrm{OP}^2 = R^2-\mathrm{XP}\cdot\mathrm{YP}\] が成り立つ.
(2)
$\triangle\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm O,$ 外接円の半径を $R,$ 内心を $\mathrm I,$ 内接円の半径を $r$ とおく. さらに, 直線 $\mathrm{AI}$ と円周 $\mathrm O$ の交点のうち $\mathrm A$ と異なる方の点を $\mathrm D$ とおき, 辺 $\mathrm{AB}$ と円周 $\mathrm I$ の接点を $\mathrm E$ とおく. このとき,
$\mathrm{DB} = \mathrm{DI}$ 
$\mathrm{AI}\cdot\mathrm{DB} = 2Rr$ 
$\mathrm{OI}^2 = R^2-2Rr$ 
$R \geqq 2r$ 
が成り立つ.
(3)
(2) の円周 $\mathrm O$ の上に点 $\mathrm P_1$ をとり, 直線 $\mathrm P_1\mathrm I$ と円周 $\mathrm O$ の交点のうち $\mathrm P_1$ と異なる方の点を $\mathrm P'_1$ とおく. さらに, $\mathrm I$ を通って $\mathrm P'_1$ を中心とする円周と円周 $\mathrm O$ の交点を $\mathrm P_2,$ $\mathrm P_3$ とおく. このとき, $\triangle\mathrm P_1\mathrm P_2\mathrm P_3$ の内心は $\mathrm I$ と一致する.
(参考: $2012$ 宮崎大)

解答例

 こちらを参照.

図形と方程式

問題《ポンスレの閉形定理にまつわる問題》

 原点を中心とする半径 $1$ の円周 $C$ と放物線 $D:y = x^2-2$ について, 次の問いに答えよ.
(A)
$D$ の頂点 $\mathrm R(0,-2)$ から $C$ に引いた接線と $D$ の交点で $\mathrm R$ と異なるものを $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ とおく. このとき, 直線 $\mathrm{PQ}$ も $C$ に接することを示せ.
(B)
$D$ 上の相異なる $3$ 点 $\mathrm P(p,p^2-2),$ $\mathrm Q(q,q^2-2),$ $\mathrm R(r,r^2-2)$ に対して, 直線 $\mathrm{PR},$ $\mathrm{QR}$ が原点を中心とする半径 $1$ の円周 $C$ に接するならば, 直線 $\mathrm{PQ}$ も円周 $C$ に接することを示せ.
(参考: $1988$ 名古屋大)

解答例

 こちらを参照.