有名問題・定理から学ぶ数学
Well-Known Problems and Theorems in Mathematics
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- (1)
- すべての正の整数 n に対して,
(1+x)n≧1+nx(x≧−2)⋯[1]
が成り立つ.
- (2)
- すべての正の整数 n に対して,
(1+x1)⋯(1+xn)≧1+k=1∑nxk (xk≧0)⋯[2]
が成り立つ.
- (3)
- r≦0, r≧1 なるすべての実数 r に対して,
(1+x)r≧1+rx(x>−1)⋯[3]
が成り立つ.
証明
- (1)
- A=(1+x)n+1−(1+x)n−{1+(n+1)x}+(1+nx)=(1+x)n(1+x−1)−x=(1+x)nx−x=x{(1+x)n−1}
は, x>0 のとき正である.
−2≦x≦0 のとき, −1≦1+x≦1 つまり ∣1+x∣≦1 から,
(1+x)n−1≦0
であるので, A≧0 が成り立つ.
よって, x≧−2 のとき,
(1+x)n+1−{1+(n+1)x}≧(1+x)n−(1+nx)
であるから, (1+x)1−(1+1⋅x)=0 と数学的帰納法により (1+x)n≧1+nx が成り立つ.
- (2)
- (i)
- (1+x1)1=1+x1 から, n=1 のとき [2] が成り立つ.
- (ii)
- n=m (m: 正の整数) のとき, [2] が成り立つとする.
x1, ⋯, xm, xm+1≧0 のとき, [2] の両辺に 1+xm+1(≧0) を掛けると,
(1+x1)⋯(1+xm)(1+xm+1)≧(1+k=1∑mxk)(1+xm+1)=1+k=1∑mxk+xm+1+xm+1k=1∑mxk≧1+k=1∑m+1xk(∵xm+1k=1∑mxk≧0)
となり, n=m+1 のとき [2] が成り立つ.
(i), (ii) から, すべての正の整数 n に対して [2] が成り立つ.
- (3)
- f(x)=(1+x)r−(1+rx) とおく.
このとき,
f′(x)=r(1+x)r−1−r=r{(1+x)r−1−1}
である.
- (i)
- r<0 のとき.
x>−1 において
f′(x)≧0f′(x)≦0⟺(1+x)r−1−1≦0⟺(1+x)r−1≦1⟺1+x≧1⟺x≧0,⟺−1<x≦0
が成り立つ.
よって, f(x) の x>−1 における最小値は f(0)=0 であるから, f(x)≧0 (x>−1) つまり [3] が成り立つ.
- (ii)
- r=0 のとき.
[3] の両辺は 0 であるから, [3] が成り立つ.
- (iii)
- r=1 のとき.
[3] の両辺は 1+x であるから, [3] が成り立つ.
- (iii)
- r>1 のとき.
x>−1 において
f′(x)≧0f′(x)≦0⟺(1+x)r−1−1≧0⟺(1+x)r−1≧1⟺1+x≧1⟺x≧0,⟺−1<x≦0
が成り立つ.
よって, f(x) の x>−1 における最小値は f(0)=0 であるから, f(x)≧0 (x>−1) つまり [3] が成り立つ.
次のことを示せ.
- (1)
- すべての正の整数 n に対して,
(1+x1)⋯(1+xn)≧1+k=1∑nxk(xk≧0)⋯[1]
が成り立つ.
- (2)
- すべての正の整数 n に対して,
(1+x)n≧1+nx(x≧0)⋯[2]
が成り立つ.
解答例
n を
2 以上の整数とする.
次のことを示せ.
- (1)
- (1+x)n>1+nx (x>0) が成り立つ.
- (2)
- nknCk≦2k−11 (1≦k≦n) が成り立つ.
- (3)
- 2≦e≦3 である.
解答例
n を
2 以上の整数とする.
- (1)
- r<0 とする.
(1+x)r≧1+rx(x>−1)⋯[1]
が成り立つことを示せ.
また, 等号成立条件を求めよ.
- (2)
- a1⋯an=1 なる正の数 a1, ⋯, an に対して
a1+⋯+an≧n⋯[2]
が成り立つことを示せ.
また, 等号成立条件を求めよ.
- (3)
- 正の数 x1, ⋯, xn に対して
x1+⋯+xn≧n(x1⋯xn)n1⋯[3]
が成り立つことを示せ.
また, 等号成立条件を求めよ.
解答例