有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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ベルヌーイの不等式

ベルヌーイの不等式

定理《ベルヌーイの不等式》

(1)
すべての正の整数 $n$ に対して, \[ (1+x)^n \geqq 1+nx \quad (x \geqq -2) \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
(2)
すべての正の整数 $n$ に対して, \[ (1+x_1)\cdots (1+x_n) \geqq 1+\sum_{k = 1}^nx_k\ (x_k \geqq 0) \quad \cdots [2]\] が成り立つ.
(3)
$r \leqq 0,$ $r \geqq 1$ なるすべての実数 $r$ に対して, \[ (1+x)^r \geqq 1+rx \quad (x > -1) \quad \cdots [3]\] が成り立つ.

証明

(1)
\[\begin{aligned} A &= (1+x)^{n+1}-(1+x)^n \\ &\qquad -\{ 1+(n+1)x\} +(1+nx) \\ &= (1+x)^n(1+x-1)-x \\ &= (1+x)^nx-x \\ &= x\{ (1+x)^n-1\} \end{aligned}\] は, $x > 0$ のとき正である. $-2 \leqq x \leqq 0$ のとき, $-1 \leqq 1+x \leqq 1$ つまり $|1+x| \leqq 1$ から, \[ (1+x)^n-1 \leqq 0\] であるので, $A \geqq 0$ が成り立つ. よって, $x \geqq -2$ のとき, \[ (1+x)^{n+1}-\{ 1+(n+1)x\} \geqq (1+x)^n-(1+nx)\] であるから, $(1+x)^1-(1+1\cdot x) = 0$ と数学的帰納法により $(1+x)^n \geqq 1+nx$ が成り立つ.
(2)
(i)
$(1+x_1)^1 = 1+x_1$ から, $n = 1$ のとき $[2]$ が成り立つ.
(ii)
$n = m$ ($m$: 正の整数) のとき, $[2]$ が成り立つとする. $x_1,$ $\cdots,$ $x_m,$ $x_{m+1} \geqq 0$ のとき, $[2]$ の両辺に $1+x_{m+1}\,(\geqq 0)$ を掛けると, \[\begin{aligned} &(1+x_1)\cdots (1+x_m)(1+x_{m+1}) \\ &\geqq \left( 1+\sum_{k = 1}^mx_k\right) (1+x_{m+1}) \\ &= 1+\sum_{k = 1}^mx_k+x_{m+1}+x_{m+1}\sum_{k = 1}^mx_k \\ &\geqq 1+\sum_{k = 1}^{m+1}x_k \quad \left(\because x_{m+1}\sum_{k = 1}^mx_k \geqq 0\right) \end{aligned}\] となり, $n = m+1$ のとき $[2]$ が成り立つ.
(i), (ii) から, すべての正の整数 $n$ に対して $[2]$ が成り立つ.
(3)
$f(x) = (1+x)^r-(1+rx)$ とおく. このとき, \[ f'(x) = r(1+x)^{r-1}-r = r\{ (1+x)^{r-1}-1\}\] である.
(i)
$r < 0$ のとき. $x > -1$ において \[\begin{aligned} f'(x) \geqq 0 &\iff (1+x)^{r-1}-1 \leqq 0 \\ &\iff (1+x)^{r-1} \leqq 1 \\ &\iff 1+x \geqq 1 \\ &\iff x \geqq 0, \\ f'(x) \leqq 0 &\iff -1 < x \leqq 0 \end{aligned}\] が成り立つ. よって, $f(x)$ の $x > -1$ における最小値は $f(0) = 0$ であるから, $f(x) \geqq 0\ (x > -1)$ つまり $[3]$ が成り立つ.
(ii)
$r = 0$ のとき. $[3]$ の両辺は $0$ であるから, $[3]$ が成り立つ.
(iii)
$r = 1$ のとき. $[3]$ の両辺は $1+x$ であるから, $[3]$ が成り立つ.
(iii)
$r > 1$ のとき. $x > -1$ において \[\begin{aligned} f'(x) \geqq 0 &\iff (1+x)^{r-1}-1 \geqq 0 \\ &\iff (1+x)^{r-1} \geqq 1 \\ &\iff 1+x \geqq 1 \\ &\iff x \geqq 0, \\ f'(x) \leqq 0 &\iff -1 < x \leqq 0 \end{aligned}\] が成り立つ. よって, $f(x)$ の $x > -1$ における最小値は $f(0) = 0$ であるから, $f(x) \geqq 0\ (x > -1)$ つまり $[3]$ が成り立つ.

高校数学の問題

数列

問題《多変数版のベルヌーイの不等式》

 次のことを示せ.
(1)
すべての正の整数 $n$ に対して, \[ (1+x_1)\cdots (1+x_n) \geqq 1+\sum_{k = 1}^nx_k \quad (x_k \geqq 0) \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
(2)
すべての正の整数 $n$ に対して, \[ (1+x)^n \geqq 1+nx \quad (x \geqq 0) \quad \cdots [2]\] が成り立つ.

解答例

 こちらを参照.

微分法 (理系)

問題《ベルヌーイの不等式とネイピア数の評価》

 $n$ を $2$ 以上の整数とする. 次のことを示せ.
(1)
$(1+x)^n > 1+nx\ (x > 0)$ が成り立つ.
(2)
$\dfrac{{}_n\mathrm C_k}{n^k} \leqq \dfrac{1}{2^{k-1}}$ $(1 \leqq k \leqq n)$ が成り立つ.
(3)
$2 \leqq e \leqq 3$ である.

解答例

 こちらを参照.

問題《ベルヌーイの不等式の一般化とその応用》

 $n$ を $2$ 以上の整数とする.
(1)
$r < 0$ とする. \[ (1+x)^r \geqq 1+rx \quad (x > -1) \quad \cdots [1]\] が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(2)
$a_1\cdots a_n = 1$ なる正の数 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ に対して \[ a_1+\cdots +a_n \geqq n \quad \cdots [2]\] が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.
(3)
正の数 $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ に対して \[ x_1+\cdots +x_n \geqq n(x_1\cdots x_n)^{\frac{1}{n}} \quad \cdots [3]\] が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.

解答例

 こちらを参照.