有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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ピタゴラスの $4$ つ組

ピタゴラスの $4$ つ組

定義《ピタゴラスの $4$ つ組》

(1)
方程式 \[ a^2+b^2+c^2 = d^2\] の正の整数解 $(a,b,c,d)$ をピタゴラスの $4$ つ組(Pythagorean quadruple)と呼ぶ.
(2)
このうち, $a,$ $b,$ $c,$ $d$ が互いに素であるものは原始的(primitive)であるという.

原始的なピタゴラスの $4$ つ組を表す公式

 次の定理は, Dickson によって証明されている($1920$ 年).

定理《原始的なピタゴラスの $4$ つ組を表す公式》

 原始的なピタゴラスの $4$ つ組 $(a,b,c,d)$ に対して, 次が成り立つ.
(1)
$a,$ $b,$ $c$ のうち $2$ つは偶数, $1$ つは奇数である.
(2)
$a,$ $b,$ $c,$ $d$ は, 必要に応じて $a,$ $b,$ $c$ を入れ替えれば, 非負整数 $k,$ $l,$ $m,$ $n$ を用いて \[\begin{aligned} a &= k^2+l^2-m^2-n^2, \\ b &= 2(km+ln), \\ c &= 2(kn-lm), \\ d &= k^2+l^2+m^2+n^2 \end{aligned}\] と表される($k,$ $l,$ $m,$ $n$ が満たすべき条件については省略).

問題

数学 A: 整数の性質

問題《ピタゴラスの $4$ つ組の性質》

 正の整数 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ が $a^2+b^2+c^2 = d^2$ を満たすとき, 次のことを示せ.
(A)
$a,$ $b,$ $c$ のうち少なくとも $2$ つは偶数である.
(B)
$a,$ $b,$ $c,$ $d$ のうち少なくとも $1$ つは $3$ の倍数である.

解答例

 こちらを参照.