$a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ を $a \neq 0$ なる複素数とする. $4$ 次方程式 \[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0 \quad \cdots [\ast ]\] の解は次の方法で求められる.

(0)

$[\ast ]$ の両辺を $a$ で割り, 方程式 \[ x^4+kx^3+lx^2+mx+n = 0 \quad \cdots [0]\] を得る.

(1)

$[0]$ に変数変換 $X = x+\dfrac{k}{4}$ を行い, 方程式 \[ X^4+4pX^2+8qX+4r = 0 \quad \cdots [1]\] を得る.

(2)

$q \neq 0$ のとき, $[1]$ の解は, $3$ 次方程式 \[ t^3+2pt^2+(p^2-r)t-q^2 = 0 \quad \cdots [2]\] ($[1]$ の分解方程式と呼ぶ) の任意の解 $t = \lambda$ $(\neq 0)$ について, 複 $2$ 次方程式 \[ (X^2+2p+2\lambda )^2 = 4\lambda\left( X-\frac{q}{\lambda}\right)^2\] の解であり, \[ X = \sqrt\lambda\!\pm\!\sqrt{-2p\!-\!\lambda\!-\!\frac{2q}{\sqrt\lambda}},\ -\sqrt\lambda\!\pm\!\sqrt{-2p\!-\!\lambda\!+\!\frac{2q}{\sqrt\lambda}}\] と表される.

(3)

$x = X-\dfrac{k}{4}$ から, $[\ast ]$ の解を求める.