有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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$4$ 次方程式の解の公式

フェラーリの解法

定理《フェラーリの解法》

 $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ を $a \neq 0$ なる複素数とする. $4$ 次方程式 \[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0 \quad \cdots [\ast ]\] の解は次の方法で求められる.
(0)
$[\ast ]$ の両辺を $a$ で割り, 方程式 \[ x^4+kx^3+lx^2+mx+n = 0 \quad \cdots [0]\] を得る.
(1)
$[0]$ に変数変換 $X = x+\dfrac{k}{4}$ を行い, 方程式 \[ X^4+4pX^2+8qX+4r = 0 \quad \cdots [1]\] を得る.
(2)
$q \neq 0$ のとき, $[1]$ の解は, $3$ 次方程式 \[ t^3+2pt^2+(p^2-r)t-q^2 = 0 \quad \cdots [2]\] ($[1]$ の分解方程式と呼ぶ)の任意の解 $t = \lambda$ $(\neq 0)$ について, 複 $2$ 次方程式 \[ (X^2+2p+2\lambda )^2 = 4\lambda\left( X-\frac{q}{\lambda}\right)^2\] の解であり, \[ X = \sqrt\lambda\!\pm\!\sqrt{-2p\!-\!\lambda\!-\!\frac{2q}{\sqrt\lambda}},\ -\sqrt\lambda\!\pm\!\sqrt{-2p\!-\!\lambda\!+\!\frac{2q}{\sqrt\lambda}}\] と表される.
(3)
$x = X-\dfrac{k}{4}$ から, $[\ast ]$ の解を求める.

証明

(1)
$X = x+\dfrac{k}{4}$ とおくと, $x = X-\dfrac{k}{4}$ から \[\begin{aligned} &x^4+kx^3+lx^2+mx+n \\ &= \left(\!X\!-\!\frac{k}{4}\!\right) ^4\!+\!k\!\left(\!X\!-\!\frac{k}{4}\!\right) ^3\!+\!l\!\left(\!X\!-\!\frac{k}{4}\!\right) ^2\!+\!m\!\left(\!X\!-\!\frac{k}{4}\!\right)\!+\!n \\ &= X^4-kX^3+kX^3+(X\text{ の }2\text{ 次式}) \\ &= X^4+(X\text{ の }2\text{ 次式}) \end{aligned}\] となるので, $[1]$ の形の方程式が得られる.
(2)
$q \neq 0$ とする. $[1]$ を複 $2$ 次方程式へ変形する. \[\begin{aligned} [1] \iff &X^4+4(p+\lambda )X^2+4(p+\lambda )^2 \\ &= 4\lambda X^2-8qX-4r+4(p+\lambda )^2 \\ \iff &(X^2+2p+2\lambda )^2 \\ &= 4(\lambda X^2-2qX+(p+\lambda )^2-r) \quad \cdots [1]' \end{aligned}\] であるから, $[1]'$ の右辺が $X$ の $1$ 次式の平方の形になればよい. そこで, $X$ の $2$ 次方程式 \[\lambda X^2-2qX+(p+\lambda )^2-r = 0\] の判別式 $D$ について \[\frac{D}{4} = (-q)^2-\lambda ((p+\lambda )^2-r) = 0\] となるように, つまり $\lambda$ が $3$ 次方程式 $[2]$ の解になるように $\lambda$ の値を選ぶ. $q \neq 0$ から $\lambda \neq 0$ であることに注意すると, \[\begin{aligned} [1]' &\iff (X^2+2p+2\lambda )^2 = 4\lambda\left( X-\frac{q}{\lambda}\right)^2 \\ &\iff X^2+2p+2\lambda = \pm2\sqrt\lambda\left( X-\frac{q}{\lambda}\right) \\ &\iff X^2\mp 2\sqrt\lambda X+2p+2\lambda\pm\frac{2q}{\sqrt\lambda} = 0 \\ &\iff X = \sqrt\lambda\pm\sqrt{\lambda -\left( 2p+2\lambda +\frac{2q}{\sqrt\lambda}\right)}, \\ &\qquad\qquad -\sqrt\lambda\pm\sqrt{\lambda -\left( 2p+2\lambda -\frac{2q}{\sqrt\lambda}\right)} \\ &\iff X = \sqrt\lambda\pm\sqrt{-2p-\lambda -\frac{2q}{\sqrt\lambda}}, \\ &\qquad\qquad -\sqrt\lambda\pm\sqrt{-2p-\lambda +\frac{2q}{\sqrt\lambda}} \end{aligned}\] となる. 以上から, $[1]$ の $4$ つの解が得られた. $4$ 次方程式の解は高々 $4$ つしかないから, これが $[1]$ の解のすべてである.

問題

数学 II: 複素数と方程式

問題《フェラーリによる $4$ 次方程式の解法》

 $4$ 次方程式 $X^4+4X^3+16X^2+64X+256 = 0\ \cdots [*]$ について考える.
(1)
変数の置き換え $X = x-1$ により, $[*]$ から $4$ 次の項の係数が $1$ で $3$ 次の項がない $x$ の $4$ 次方程式 $f(x) = 0$ を導け.
(2)
$f(x) = (x^2+t)^2-(px+q)^2$ となるような $t,$ $p,$ $q$ の値を $1$ 組求めよ.
(3)
$[*]$ の解を求めよ.

解答例

 こちらを参照.