(i) $\Longrightarrow$ (ii) は明らか.
　(ii) を仮定すると, すべての正の整数 $n$ に対して \[\begin{aligned} f(n) &= \{ f(n)-f(n-1)\} +\cdots +\{ f(1)-f(0)\} +f(0), \\ f(-n) &= f(0)-\{ f(0)-f(-1)\} -\cdots -\{ f(-n+1)-f(-n)\} \end{aligned}\] は整数になる. よって, (ii) $\Longrightarrow$ (i) が成り立つ.
　次に, (ii) $\iff$ (iii) を示す.

(a)

$d = 0$ のとき. $f(x)$ は定数関数であるから, (ii) $\iff$ (iii) が成り立つ.

(b)

与えられた非負整数 $d$ について, 各 $d$ 次多項式に対して (ii) $\iff$ (iii) の成立を仮定する. この $d$ に対して (i) $\iff$ (iii) が成り立つ. $f(x)$ を $d+1$ 次多項式とすると, $f(x+1)-f(x)$ は $d$ 次になるから,

すべての整数 $n$ に対して $f(0),$ $f(n+1)-f(n)$ は整数

$\iff$ $f(0),$ $f(1)-f(0),$ $\cdots,$ $f(d+1)-f(d)$ は整数

$\iff$ $f(0),$ $\cdots,$ $f(d),$ $f(d+1)$ は整数

となる.

(a), (b) から, すべての非負整数 $d$ に対して (ii) $\iff$ (iii) が成り立つ.
　以上から, (i)～(iii) はすべて同値である.

　$b$ を $a$ で割った余りを $r$ とおく. このとき, $b = aq+r,$ $0 < r < a$ ($a,$ $b$ が互いに素であることから $r \neq 0$) から が成り立つ.

(1)

$aq < b$ の両辺を $bq$ で割ると, \[\frac{a}{b} < \frac{1}{q} \quad \cdots [1]\] が得られる.

(2)

$b < a(q+1)$ から \[\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}-\frac{1}{q+1} = \frac{a(q+1)-b}{b(q+1)} > 0 \quad \cdots [2]'\] が成り立つので, $a' > 0$ であり, \[ a' \leqq a(q+1)-b = a-(b-aq) = a-r < a\] (左側の不等式の等号成立は $[2]'$ で右側の分数が既約なとき) が成り立つ. また, $[1]$ から \[\begin{aligned} \frac{1}{b'} \leqq \frac{a'}{b'} &= \frac{a}{b}-\frac{1}{q+1} \\ &< \frac{1}{q}-\frac{1}{q+1} = \frac{1}{q(q+1)} < \frac{1}{q+1} \end{aligned}\] が成り立つので, $q+1 < b'$ である.

(3)

$a = 1$ のとき, $d_1 = b$ とおけばよい. $a \geqq 2$ のとき, $\dfrac{a}{b}$ を $[2]$ のように表し, $d_1 = q+1$ とおく. $a' = 1$ のとき, $q+1 < b'$ に注意して, $d_2 = b'$ とおけばよい. $a' \geqq 2$ のとき, 同様の議論により, $\dfrac{a'}{b'}$ は $d_1$ より大きい整数 $d_2$ の逆数と分子がより小さい分数 (分母・分子は正) の和として表せる. $a$ より小さい正の整数は $a$ 個しかないから, この操作を高々 $a$ 回繰り返すと, 残りの分数の分子も $1$ になり, 求める表示 $[3]$ が得られる.