(1)

$f(x)$ を微分すると, \[ f'(x) = 3x^2+3p = 3(x^2+p)\] となる.

• $p \geqq 0$ のとき. $f'(x) \geqq 0$ であるから, $f(x)$ の極値は存在しない.
• $p < 0$ のとき. \[\begin{aligned} f'(x) \geqq 0 &\iff x \leqq -\sqrt{-p},\ \sqrt{-p} \leqq x, \\ f'(x) \leqq 0 &\iff -\sqrt{-p} \leqq x \leqq \sqrt{-p} \end{aligned}\] であるから, $f(x)$ は $x = \pm\sqrt{-p}$ で極値 \[ f(\pm\sqrt{-p}) = \mp p\sqrt{-p}\pm 3p\sqrt{-p}+2q = 2(q\pm p\sqrt{-p})\] をとる.

(2)

$f(x) = 0$ の実数解の個数は, 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の共有点の個数に等しい. \[ f(\sqrt{-p})f(-\sqrt{-p}) = 4(p^3+q^2)\] であり, \[\lim\limits_{x \to \pm\infty}f(x) = \pm\infty \quad \cdots [1]\] であることに注意する.

(i)

$p^3+q^2 < 0$ のとき. $p^3 < -q^2 \leqq 0$ から $p < 0$ であるので, (1) の結果から $f(x)$ は $x = \pm\sqrt{-p}$ で極値をとる. $f(\sqrt{-p})f(-\sqrt{-p}) < 0$ であるので, $[1]$ と中間値の定理により, $y = f(x)$ と $x$ 軸は異なる $3$ 点で交わる.

(ii)

$p^3+q^2 = 0,$ $p < 0$ のとき. (1) の結果から $f(x)$ は $x = \pm\sqrt{-p}$ で極値をとる. $f(\sqrt{-p})f(-\sqrt{-p}) = 0,$ $f(\sqrt{-p}) \neq f(-\sqrt{-p})$ であるので, $f(\sqrt{-p}) = 0,$ $f(-\sqrt{-p}) = 0$ のいずれかが成り立つ. よって, $[1]$ と中間値の定理により, $y = f(x)$ と $x$ 軸はちょうど $2$ つの共有点をもつ.

(iii)

$p^3+q^2 > 0$ のとき.

• $p \geqq 0$ のとき. $f'(x) \geqq 0$ から $f(x)$ は単調増加であるので, $[1]$ と中間値の定理により, $y = f(x)$ と $x$ 軸はただ $1$ 点で交わる.
• $p < 0$ のとき. (1) の結果から $f(x)$ は $x = \pm\sqrt{-p}$ で極値をとり, $f(\sqrt{-p})f(-\sqrt{-p}) > 0$ であるので, $[1]$ と中間値の定理, $f(x)$ の増減により, $y = f(x)$ と $x$ 軸はただ $1$ 点で交わる.

よって, (i)～(iii) が成り立つ.

　$f(x) = xe^x$ とおく. $xe^x = a$ の実数解の個数は, 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に等しい. \[ f'(x) = e^x+xe^x = (x+1)e^x\] であるから, $f(x)$ の増減は次の表の通りである.

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$
$f'(x)$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$f(x)$	$\searrow$	$-\dfrac{1}{e}$	$\nearrow$

よって, $f(x)$ は $x = -1$ のとき極小かつ最小の値 $-\dfrac{1}{e}$ をとる. さらに, $\lim\limits_{x \to -\infty}xe^x = 0$ から $x$ 軸は $y = f(x)$ の漸近線であるので, 曲線 $y = f(x) $ の概形は次の通りである. ゆえに, $xe^x = a$ の実数解の個数, つまり $y = f(x)$ と $y = a$ の共有点の個数は, $-\dfrac{1}{e} < a < 0$ のとき $2$ 個, $a = -\dfrac{1}{e},$ $a \geqq 0$ のとき $1$ 個, $a < -\dfrac{1}{e}$ のとき $0$ 個である.