有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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関数の増減・曲線の凹凸

関数の増減・曲線の凹凸

定理≪関数の増減と導関数の符号≫

 区間 $I$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して,
(1)
$I$ において $f'(x) \geqq 0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$ は $I$ において単調増加
(2)
$I$ において $f'(x) \leqq 0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$ は $I$ において単調減少
が成り立つ.

証明

(1)
$I$ において $f'(x) \geqq 0$ が成り立つとする.  $x_1,$ $x_2 \in I,$ $x_1 < x_2$ のとき, $x_1 < x < x_2$ なる実数 $x$ をとると, 平均値の定理により, $x_1 < c_1 < x < c_2 < x_2$ なるある実数 $c_1,$ $c_2$ に対して \begin{align*} f(x)-f(x_1) &= f'(c_1)(x-x_1) \geqq 0, \\ f(x_2)-f(x) &= f'(c_2)(x_2-x) \geqq 0 \end{align*} となるから, $f(x_1) \leqq f(x) \leqq f(x_2)$ が成り立つ. ゆえに, $f(x)$ は $I$ において単調増加である.
(2)
(1) と同様である.

問題≪$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ となる条件≫

 実数 $a$ を含む開区間 $(a-\varepsilon,\infty )\ (\varepsilon > 0)$ において, 関数 $f(x)$ は微分可能であり, $2$ 次導関数をもつとする. このとき,
(i)
$f'(a) > 0$ 
(ii)
$f''(x) > 0 \quad (x \geqq a)$ 
(iii)
$\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ 
という $3$ つの条件を考える.
(1)
(i), (ii) が成り立てば, (iii) が成り立つことを示せ.
(2)
(ii) のみでは (iii) は成り立たない. その例を挙げよ.
[津田塾大*]

解答例

(1)
(i), (ii) を仮定する. 平均理の定理により, $x > a+1$ なる各実数 $x$ に対して, \[\frac{f(x)-f(a+1)}{x-a-1} = f'(c)\] つまり \[ f(x) = f(a+1)+(x-a-1)f'(c)\] を満たす実数 $c$ が $a+1 < c < x$ の範囲に存在する. (ii) から $f'(x)$ は $x \geqq a$ において単調増加であるので, このとき $f'(c) > f'(a+1)$ であり, \[ f(x) > f(a+1)+(x-a-1)f'(a+1) \quad \cdots [1]\] が成り立つ. さらに, (i), (ii) と $f'(x)$ の $x = a$ における連続性(微分可能性から従う)から $f'(a+1) > f'(a) > 0$ であるので, \[\lim\limits_{x \to \infty}(x-a-1)f'(a+1) = \infty \quad \cdots [2]\] が成り立つ. ゆえに, $[1]$, $[2]$ から, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ が成り立つ.
(2)
$f(x) = e^{-x}$ として, $a$ を任意の実数とすると, \[ f'(x) = -e^{-x}, \quad f''(x) = e^{-x} > 0\ (x \geqq a)\] と (ii) が成り立つが, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = 0$ となり, (iii) は成り立たない.

背景

 $2$ 回微分可能な関数 $f(x)$ について, 次のことが成り立つ.
  • 開区間 $(l,\infty )$ において, 曲線 $y = f(x)$ が下に凸(resp. 上に凸)であり, 接線の傾きが正(resp. 負)であるならば, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ (resp. $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = -\infty$)が成り立つ.
  • 開区間 $(-\infty,r)$ において, 曲線 $y = f(x)$ が下に凸(resp. 上に凸)であり, 接線の傾きが負(resp. 正)であるならば, $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ (resp. $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$)が成り立つ.