有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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関数の増減・曲線の凹凸

関数の増減

定理≪関数の増減と導関数の符号≫

 区間 $I$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して,
(1)
$I$ において $f'(x) \geqq 0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$ は $I$ において単調増加
(2)
$I$ において $f'(x) \leqq 0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$ は $I$ において単調減少
が成り立つ.

証明

(1)
$I$ において $f'(x) \geqq 0$ が成り立つとする.  $x_1,$ $x_2 \in I,$ $x_1 < x_2$ のとき, $x_1 < x < x_2$ なる実数 $x$ をとると, 平均値の定理により, $x_1 < c_1 < x < c_2 < x_2$ なるある実数 $c_1,$ $c_2$ に対して \begin{align*} f(x)-f(x_1) &= f'(c_1)(x-x_1) \geqq 0, \\ f(x_2)-f(x) &= f'(c_2)(x_2-x) \geqq 0 \end{align*} となるから, $f(x_1) \leqq f(x) \leqq f(x_2)$ が成り立つ. ゆえに, $f(x)$ は $I$ において単調増加である.
(2)
(1) と同様である.

問題≪$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ となる条件≫

 実数 $a$ を含む開区間 $(a-\varepsilon,\infty )\ (\varepsilon > 0)$ において, 関数 $f(x)$ は微分可能であり, $2$ 次導関数をもつとする. このとき,
(i)
$f'(a) > 0$ 
(ii)
$f''(x) > 0 \quad (x \geqq a)$ 
(iii)
$\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ 
という $3$ つの条件を考える.
(1)
(i), (ii) が成り立てば, (iii) が成り立つことを示せ.
(2)
(ii) のみでは (iii) は成り立たない. その例を挙げよ.
(参考: 津田塾大)

解答例

(1)
(i), (ii) を仮定する. $x > a$ なる各実数 $x$ に対して, 関数は $[a,x]$ において連続で, $(a,x)$ において微分可能であるから, 平均理の定理により, \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(c)\] つまり \[ f(x) = f(a)+(x-a)f'(c)\] を満たす実数 $c$ が $a < c < x$ の範囲に存在する. (ii) から $f'(x)$ は $x \geqq a$ において単調増加であるので, このとき $f'(c) > f'(a)$ であり, \[ f(x) > f(a)+(x-a)f'(a) \quad \cdots [1]\] が成り立つ. さらに, (i) から $f'(a) > 0$ であるので, \[\lim\limits_{x \to \infty}(x-a)f'(a) = \infty \quad \cdots [2]\] が成り立つ. ゆえに, $[1]$, $[2]$ から, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ が成り立つ.
(2)
$f(x) = e^{-x}$ として, $a$ を任意の実数とすると, \[ f'(x) = -e^{-x}, \quad f''(x) = e^{-x} > 0\ (x \geqq a)\] と (ii) が成り立つが, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = 0$ となり, (iii) は成り立たない.

背景

 $2$ 回微分可能な関数 $f(x)$ について, 次のことが成り立つ.
  • 開区間 $(l,\infty )$ において, 曲線 $y = f(x)$ が下に凸(resp. 上に凸)であり, 接線の傾きが正(resp. 負)であるならば, $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ (resp. $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = -\infty$)が成り立つ.
  • 開区間 $(-\infty,r)$ において, 曲線 $y = f(x)$ が下に凸(resp. 上に凸)であり, 接線の傾きが負(resp. 正)であるならば, $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = \infty$ (resp. $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$)が成り立つ.

曲線の凹凸

問題≪凸関数のグラフの接線≫

 実数値関数 $f(x)$ が点 $x = a$ を含む開区間 $I$ で $2$ 回微分可能であるとし, 曲線 $y = f(x)$ の点 $(a,\ f(a))$ における接線を $y = g(x)$ とする. このとき, 区間 $I$ において \[ f''(x) \leqq 0 \Longrightarrow f(x) \leqq g(x)\] が成り立つことを示せ.

解答例

 $h(x) = g(x)-f(x)$ とおく. このとき, \[ g(x) = f'(a)(x-a)+f(a)\] であるから, \[ h'(x) = f'(a)-f'(x) = -\{ f'(x)-f'(a)\},\ h(a) = 0\] となる. よって, 区間 $I$ において,
$f''(x) \leqq 0$ $\iff f'(x)$ は単調減少
$\iff \begin{cases} h'(x) \geqq 0 & (x \leqq a), \\ h'(x) \leqq 0 & (x \geqq a) \end{cases}$
$\iff$ $h(x)$ は $x = a$ で極小かつ最小の値をとる
 $\Longrightarrow h(x) \geqq h(a)$ $\iff$ $h(x) \geqq 0$
$\iff f(x) \leqq g(x)$
が成り立つ.

背景

 本問で示した関数の性質は,「上に凸」(convex upward)である関数の特徴付けを与える(「凸関数」については, こちらを参照).

問題≪関数のグラフの複接線と変曲点の個数≫

 関数 $f(x)$ は $2$ 回微分可能, $f''(x)$ は連続であり, 曲線 $y = f(x)$ は線分である部分をもたないとする. $y = f(x)$ に相異なる $2$ 点で接する直線が存在するためには, $y = f(x)$ が少なくとも $2$ つの変曲点をもつことが必要であることを示せ.

解答例

 曲線 $y = f(x)$ に $2$ 点 $(\alpha,f(\alpha )),$ $(\beta,f(\beta ))$ $(\alpha < \beta )$ で接する直線の存在を仮定する. このとき, \[\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha} = f'(\alpha ) = f'(\beta )\] が成り立つ. また, 平均値の定理により \[\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha} = f'(\gamma ), \quad \alpha < \gamma < \beta\] を満たす実数 $\gamma$ が存在する. 曲線 $y = f(x)$ が線分である部分をもたないという仮定から, $(\alpha,\gamma ),$ $(\gamma,\beta )$ の各区間において, 常に $f''(x) = 0$ となることはない. さらに, $f'(\alpha ) = f'(\gamma ) = f'(\beta )$ と $f''(x)$ の連続性により, これらの各区間において, $f''(x) > 0$ となる $x$ があれば $f''(x) < 0$ となる $x$ があり, $f''(x) < 0$ となる $x$ があれば $f''(x) > 0$ となる $x$ がある. よって, ある実数 $x_1,$ $x_2$ $(\alpha < x_1 < \gamma < x_2 < \beta)$ の前後で, それぞれ $f''(x)$ の符号が変化する. ゆえに, $y = f(x)$ は少なくとも $2$ つの変曲点 $(x_1,f(x_1)),$ $(x_2,f(x_2))$ をもつ.