$F(x),$ $G(x)$ をそれぞれ $f(x),$ $g(x)$ の不定積分の $1$ つとすると, 導関数の線形性により \[\begin{aligned} \{ kF(x)\} ' &= kF'(x) = kf(x), \\ \{ F(x)\pm G(x)\} ' &= F'(x)\pm G'(x) = f(x)\pm g(x) \end{aligned}\] となるから, 求める等式が従う.

　積の微分法により \[\{ f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\] であるから, 両辺を $x$ で積分すると \[\begin{aligned} f(x)g(x) &= \int\{ f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\} dx \\ &= \int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx \\ \int f(x)g'(x)dx &= f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx \end{aligned}\] が得られる.

(1)

$y = F(x)$ を $f(x)$ の不定積分の $1$ つとすると, 合成関数の微分法により \[ f(x) = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = F'(x)g'(t) = f(g(t))g'(t)\] となるから, 両辺を $2$ 通りの不定積分で表せば, 求める等式が得られる.

(1)'

(1) において, $x,$ $t$ をそれぞれ $u,$ $x$ に置き換えればよい.

(2)

(1）' において $u = g(x) = ax+b$ とすると, \[\begin{aligned} \int f(ax+b)\cdot adx &= \int f(u)du = F(u)+C \\ a\int f(ax+b)dx &= F(ax+b)+C \end{aligned}\] から, 求める等式が得られる.

(3)

(1)' において $f(u),$ $u = g(x)$ をそれぞれ $\dfrac{1}{u},$ $u = f(x)$ で置き換えると, \[\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \int\frac{du}{u} = \log |u|+C = \log |f(x)|+C\] が得られる.

　$(x^{\alpha +1})' = (\alpha +1)x^\alpha,$ つまり $\left(\dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right) ' = x^\alpha$ $(\alpha \neq -1)$ と, $(\log |x|)' = \dfrac{1}{x}$ から従う.

　第 $1$ 式と第 $2$ 式は, それぞれ $(\sin x)' = \cos x$ と, $(\cos x)' = -\sin x$ つまり $(-\cos x)' = \sin x$ から従う.
　第 $3$ 式と第 $4$ 式は, 置換積分法により \[\begin{aligned} \int\tan xdx &= \int\frac{-(\cos x)'}{\cos x}dx = -\log |\cos x|+C, \\ \int\frac{dx}{\tan x} &= \int\frac{(\sin x)'}{\sin x}dx = -\log |\sin x|+C \end{aligned}\] と示すことができる.
　第 $5$ 式と第 $6$ 式は, それぞれ $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos ^2x}$ と, $\left(\dfrac{1}{\tan x}\right) ' = -\dfrac{1}{\sin ^2x}$ つまり $\left( -\dfrac{1}{\tan x}\right) ' = \dfrac{1}{\sin ^2x}$ から従う.

　第 $1$ 式, 第 $2$ 式は, $(a^x)' = a^x\log a$ つまり $\left(\dfrac{a^x}{\log a}\right)' = a^x$ から従う.
　第 $3$ 式は, 底の変換公式と第 $4$ 式 \[\begin{aligned} \int\log xdx &= \int (x)'\log xdx \\ &= x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx \\ &= x+x\log x+C \end{aligned}\] から従う.

(1)

三角関数の積和の公式により, \[\begin{aligned} &\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m+n)x+\cos (m-n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0, \\ &\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m-n)x}{m-n}-\frac{\sin (m+n)x}{m+n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0 \end{aligned}\] である. また, \[\sin m(-x)\cos n(-x) = -\sin mx\cos nx\] から $\sin mx\cos nx$ は奇関数であるので, \[\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx = 0\] である.

(2)

半角の公式により, \[\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi\cos ^2nxdx &= \int_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos 2nx}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[ x+\frac{\sin 2nx}{2n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= \pi, \\ \int_{-\pi}^\pi\sin ^2nxdx &= \int_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos 2nx}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[ x-\frac{\sin 2nx}{2n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= \pi \end{aligned}\] である.

(3)

\[\begin{aligned} &\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx \\ &= \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi\cos kxdx \\ &\ +\!\sum_{j = 1}^n\left(\!a_j\!\!\int_{-\pi}^\pi\!\cos jx\cos kxdx\!+\!b_j\!\int_{-\pi}^\pi\!\sin jx\cos kxdx\!\right) \\ &= a_k\pi, \\ &\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \\ &= \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi\sin kxdx \\ &\ +\!\sum_{j = 1}^n\left(\!a_j\!\!\int_{-\pi}^\pi\!\cos jx\sin kxdx\!+\!b_j\!\int_{-\pi}^\pi\!\sin jx\sin kxdx\!\right) \\ &= b_k\pi \end{aligned}\] から, \[\begin{aligned} a_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx, \\ b_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \end{aligned}\] が成り立つ.

(A)

\[\begin{aligned} \int_{-1}^1x\sqrt{1-x^2}dx &= -\int_0^1(-2x)\sqrt{1-x^2}dx \\ &= -\left[\frac{2}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}\right] _0^1 = \frac{2}{3}, \\ \int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dy &= \frac{1}{2}\cdot (\pi\cdot 1^2) = \frac{\pi}{2} \end{aligned}\] であるから, 求める座標は \[\frac{2}{3}\div\frac{\pi}{2} = \frac{4}{3\pi}\] である.

(B)

\[\begin{aligned} \int_0^1x\pi (\sqrt{1-x^2})^2dx &= \pi\int_0^1(x-x^3)dx \\ &= \pi\left[\frac{x}{2}-\frac{x^4}{4}\right] _0^1 = \frac{\pi}{4}, \\ \int_0^1\pi (\sqrt{1-x^2})^2dx &= \frac{1}{2}\cdot\frac{4\pi\cdot 1^2}{3} = \frac{2\pi}{3} \end{aligned}\] であるから, 求める座標は \[\frac{\pi}{4}\div\frac{2\pi}{3} = \frac{3}{8}\] である.

　$t = a+b-x$ とおくと, $x = a+b-t,$ $\dfrac{dx}{dt} = -1$ となるから, \[\int_a^bf(x)dx = \int_b^af(a+b-t)(-1)dt = \int_a^bf(a+b-t)dt\] が得られる.

(1)

微分積分学の基本定理により, \[ f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\] である.

(2)

$\varphi (x) = f(x)+f(x^{-1})$ $(x > 0)$ とおく. このとき, \[\begin{aligned} \varphi '(x) &= f'(x)+f'(x^{-1})\cdot (x^{-1})' \\ &= \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+(x^{-1})^2}\cdot (-x^{-2}) \\ &= \frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2+1} = 0 \end{aligned}\] であるから, $\varphi (x)$ は定数関数である. その値は \[\begin{aligned} \varphi (1) &= 2f(1) = 2\int_0^1\frac{dt}{1+t^2} \\ &= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\tan ^2\theta}\cdot\frac{1}{\cos ^2\theta}d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta \\ &= 2[\theta ]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{2} \end{aligned}\] であるから, \[ f(x)+f(x^{-1}) = \dfrac{\pi}{2} \quad (x > 0)\] が成り立つ.