不定積分・定積分(理系)
不定積分
定理《不定積分の線形性》
連続な関数 $f(x),$ $g(x),$ 定数 $k$ に対して,
\[\begin{aligned}
\int kf(x)dx &= k\int f(x)dx, \\
\int\{ f(x)\pm g(x)\} dx &= \int f(x)dx\pm\int g(x)dx
\end{aligned}\]
が成り立つ.
証明
$F(x),$ $G(x)$ をそれぞれ $f(x),$ $g(x)$ の不定積分の $1$ つとすると, 導関数の線形性により
\[\begin{aligned}
\{ kF(x)\} ' &= kF'(x) = kf(x), \\
\{ F(x)\pm G(x)\} ' &= F'(x)\pm G'(x) = f(x)\pm g(x)
\end{aligned}\]
となるから, 求める等式が従う.
定理《部分積分法》
微分可能な関数 $f(x),$ $g(x)$ に対して
\[\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\]
が成り立つ.
証明
-
積の微分法により
\[\{ f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]
であるから, 両辺を $x$ で積分すると
\[\begin{aligned}
f(x)g(x) &= \int\{ f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\} dx \\
&= \int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx \\
\int f(x)g'(x)dx &= f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx
\end{aligned}\]
が得られる.
定理《置換積分法》
- (1)
- 連続な関数 $f(x),$ 微分可能な関数 $x = g(t)$ に対して \[\int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t)dt\] が成り立つ.
- (1)'
- 連続な関数 $f(u),$ 微分可能な関数 $u = g(x)$ に対して \[\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\] が成り立つ.
- (2)
- 連続な関数 $f(x),$ 実数 $a,$ $b$ ($a \neq 0$)に対して, $F(x)$ を $f(x)$ の不定積分の $1$ つとすると, \[\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C\] ($C$: 積分定数)が成り立つ.
- (3)
- 微分可能な関数 $f(x)$ が常に $f(x) \neq 0$ を満たすとき, \[\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)|+C\] ($C$: 積分定数)が成り立つ.
証明
- (1)
- $y = F(x)$ を $f(x)$ の不定積分の $1$ つとすると, 合成関数の微分法により \[ f(x) = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = F'(x)g'(t) = f(g(t))g'(t)\] となるから, 両辺を $2$ 通りの不定積分で表せば, 求める等式が得られる.
- (1)'
- (1) において, $x,$ $t$ をそれぞれ $u,$ $x$ に置き換えればよい.
- (2)
- (1）' において $u = g(x) = ax+b$ とすると, \[\begin{aligned} \int f(ax+b)\cdot adx &= \int f(u)du = F(u)+C \\ a\int f(ax+b)dx &= F(ax+b)+C \end{aligned}\] から, 求める等式が得られる.
- (3)
- (1)' において $f(u),$ $u = g(x)$ をそれぞれ $\dfrac{1}{u},$ $u = f(x)$ で置き換えると, \[\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \int\frac{du}{u} = \log |u|+C = \log |f(x)|+C\] が得られる.
定理《べき関数の不定積分》
すべての実数 $\alpha$ に対して,
\[\int x^\alpha dx = \begin{cases}
\dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C & (\alpha \neq -1), \\
\log |x|+C & (\alpha = -1)
\end{cases}\]
($C$: 積分定数)が成り立つ.
証明
$(x^{\alpha +1})' = (\alpha +1)x^\alpha,$ つまり $\left(\dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right) ' = x^\alpha$ $(\alpha \neq -1)$ と, $(\log |x|)' = \dfrac{1}{x}$ から従う.
定理《三角関数の不定積分》
\[\begin{aligned}
\int\!\cos xdx &\!=\! \sin x\!+\!C, \!\!\!\!\!&\!\!\!\!\! \int\!\sin xdx &\!=\! -\cos x\!+\!C, \\
\int\!\tan xdx &\!=\! -\log |\cos x|\!+\!C, \!\!\!\!\!&\!\!\!\!\! \int\!\frac{dx}{\tan x} &\!=\! \log |\sin x|\!+\!C, \\
\int\!\frac{dx}{\cos ^2x} &\!=\! \tan x\!+\!C, \!\!\!\!\!&\!\!\!\!\! \int\!\frac{dx}{\sin ^2x} &\!=\! -\frac{1}{\tan x}\!+\!C
\end{aligned}\]
($C$: 積分定数)が成り立つ.
証明
第 $1$ 式と第 $2$ 式は, それぞれ $(\sin x)' = \cos x$ と, $(\cos x)' = -\sin x$ つまり $(-\cos x)' = \sin x$ から従う.
第 $3$ 式と第 $4$ 式は, 置換積分法により \[\begin{aligned} \int\tan xdx &= \int\frac{-(\cos x)'}{\cos x}dx = -\log |\cos x|+C, \\ \int\frac{dx}{\tan x} &= \int\frac{(\sin x)'}{\sin x}dx = -\log |\sin x|+C \end{aligned}\] と示すことができる.
第 $5$ 式と第 $6$ 式は, それぞれ $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos ^2x}$ と, $\left(\dfrac{1}{\tan x}\right) ' = -\dfrac{1}{\sin ^2x}$ つまり $\left( -\dfrac{1}{\tan x}\right) ' = \dfrac{1}{\sin ^2x}$ から従う.
第 $3$ 式と第 $4$ 式は, 置換積分法により \[\begin{aligned} \int\tan xdx &= \int\frac{-(\cos x)'}{\cos x}dx = -\log |\cos x|+C, \\ \int\frac{dx}{\tan x} &= \int\frac{(\sin x)'}{\sin x}dx = -\log |\sin x|+C \end{aligned}\] と示すことができる.
第 $5$ 式と第 $6$ 式は, それぞれ $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos ^2x}$ と, $\left(\dfrac{1}{\tan x}\right) ' = -\dfrac{1}{\sin ^2x}$ つまり $\left( -\dfrac{1}{\tan x}\right) ' = \dfrac{1}{\sin ^2x}$ から従う.
定理《指数関数・対数関数の不定積分》
$a > 0,$ $a \neq 1$ のとき,
\[\begin{aligned}
\int a^xdx &= \frac{a^x}{\log a}+C, \\
\int e^xdx &= e^x+C, \\
\int\log _axdx &= \frac{1}{\log a}(x+x\log x)+C, \\
\int\log xdx &= x+x\log x+C
\end{aligned}\]
($C$: 積分定数)が成り立つ.
証明
第 $1$ 式, 第 $2$ 式は, $(a^x)' = a^x\log a$ つまり $\left(\dfrac{a^x}{\log a}\right)' = a^x$ から従う.
第 $3$ 式は, 底の変換公式と第 $4$ 式 \[\begin{aligned} \int\log xdx &= \int (x)'\log xdx \\ &= x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx \\ &= x+x\log x+C \end{aligned}\] から従う.
第 $3$ 式は, 底の変換公式と第 $4$ 式 \[\begin{aligned} \int\log xdx &= \int (x)'\log xdx \\ &= x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx \\ &= x+x\log x+C \end{aligned}\] から従う.
定積分
定理《微分積分学の基本定理》
$a,$ $b$ を実数とする.
- (1)
- $a$ を含む区間 $I$ で定義された連続関数 $f(x)$ に対して, 区間 $I$ の端点を除く部分で \[\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt = f(x)\] が成り立つ.
- (2)
- 関数 $f(x)$ が開区間 $(a,b)$ を含む区間で微分可能なとき, \[\int_a^bf'(x)dx = f(b)-f(a)\] が成り立つ.
- (3)
- 関数 $f(x)$ の不定積分が $F(x)$ であるとき, \[\int_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)\] が成り立つ.
問題《三角関数の直交性》
- (1)
- $m,$ $n$ を相異なる整数とする. 定積分 \[\begin{aligned} &\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx, \\ &\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx, \\ &\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx \end{aligned}\] の値を求めよ.
- (2)
- $n$ を正の整数とする. 定積分 \[\begin{aligned} &\int_{-\pi}^\pi\cos ^2nxdx, \\ &\int_{-\pi}^\pi\sin ^2nxdx \end{aligned}\] の値を求めよ.
- (3)
- \[ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k = 1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\] であるとき, 非負整数 $k$ に対して \[\begin{aligned} a_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx, \\ b_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \end{aligned}\] が成り立つことを示せ.
解答例
- (1)
- 三角関数の積和の公式により, \[\begin{aligned} &\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m+n)x+\cos (m-n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0, \\ &\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m-n)x}{m-n}-\frac{\sin (m+n)x}{m+n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0 \end{aligned}\] である. また, \[\sin m(-x)\cos n(-x) = -\sin mx\cos nx\] から $\sin mx\cos nx$ は奇関数であるので, \[\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx = 0\] である.
- (2)
- 半角の公式により, \[\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi\cos ^2nxdx &= \int_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos 2nx}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[ x+\frac{\sin 2nx}{2n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= \pi, \\ \int_{-\pi}^\pi\sin ^2nxdx &= \int_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos 2nx}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[ x-\frac{\sin 2nx}{2n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= \pi \end{aligned}\] である.
- (3)
- \[\begin{aligned} &\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx \\ &= \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi\cos kxdx \\ &\ +\!\sum_{j = 1}^n\left(\!a_j\!\!\int_{-\pi}^\pi\!\cos jx\cos kxdx\!+\!b_j\!\int_{-\pi}^\pi\!\sin jx\cos kxdx\!\right) \\ &= a_k\pi, \\ &\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \\ &= \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi\sin kxdx \\ &\ +\!\sum_{j = 1}^n\left(\!a_j\!\!\int_{-\pi}^\pi\!\cos jx\sin kxdx\!+\!b_j\!\int_{-\pi}^\pi\!\sin jx\sin kxdx\!\right) \\ &= b_k\pi \end{aligned}\] から, \[\begin{aligned} a_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx, \\ b_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \end{aligned}\] が成り立つ.
参考
- 解析学において, 関数をベクトルのように扱い, 連続関数 $f(x),$ $g(x)$ $(a \leqq x \leqq b)$ の「内積」$\langle f,g\rangle$ を定積分 \[\langle f,g\rangle = \int_a^bf(x)g(x)dx\] で定義する.
- この内積が $0$ になるという意味で, 三角関数 $\cos mx,$ $\cos nx,$ $\sin mx,$ $\sin nx$ $\left( -\pi \leqq x \leqq \pi,\right.$ $\left.m \neq n\right)$ は互いに「直交」している. この結果は「フーリエ解析」(Fourier analysis)と呼ばれる理論で重要な役割を果たす. 「フーリエ解析」では, 関数 $f(x)$ を \[ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n = 0}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)\] の形に「フーリエ級数展開」して(多くの関数で可能), その挙動を調べる.
問題《図形の重心に関する定積分の比》
- (A)
- 閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $y = f(x),$ $y = g(x)$ のグラフと直線 $x = a,$ $x = b$ で囲まれた図形の「重心」の $x$ 座標は, 定積分の比 \[\frac{\displaystyle\int_a^bx|f(x)-g(x)|dx}{\displaystyle\int_a^b|f(x)-g(x)|dx}\] で表されるという. 半円 $x^2+y^2 \leqq 1,$ $x \geqq 0$ の「重心」の $x$ 座標を求めよ.
- (B)
- 閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸, 直線 $x = a,$ $x = b$ で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに $1$ 回転して得られる立体の「重心」の $x$ 座標は, 定積分の比 \[\frac{\displaystyle\int_a^bx\pi f(x)^2dx}{\displaystyle\int_a^b\pi f(x)^2dx}\] で表されるという. 半球 $x^2+y^2+z^2 \leqq 1,$ $x \geqq 0$ の「重心」の $x$ 座標を求めよ.
解答例
- (A)
- \[\begin{aligned} \int_{-1}^1x\sqrt{1-x^2}dx &= -\int_0^1(-2x)\sqrt{1-x^2}dx \\ &= -\left[\frac{2}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}\right] _0^1 = \frac{2}{3}, \\ \int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dy &= \frac{1}{2}\cdot (\pi\cdot 1^2) = \frac{\pi}{2} \end{aligned}\] であるから, 求める座標は \[\frac{2}{3}\div\frac{\pi}{2} = \frac{4}{3\pi}\] である.
- (B)
- \[\begin{aligned} \int_0^1x\pi (\sqrt{1-x^2})^2dx &= \pi\int_0^1(x-x^3)dx \\ &= \pi\left[\frac{x}{2}-\frac{x^4}{4}\right] _0^1 = \frac{\pi}{4}, \\ \int_0^1\pi (\sqrt{1-x^2})^2dx &= \frac{1}{2}\cdot\frac{4\pi\cdot 1^2}{3} = \frac{2\pi}{3} \end{aligned}\] であるから, 求める座標は \[\frac{\pi}{4}\div\frac{2\pi}{3} = \frac{3}{8}\] である.
参考
一般の図形の「重心」は「重積分」を用いて定義される.
問題《キングス・プロパティー》
区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ に対して
\[\int_a^bf(x)dx = \int_a^bf(a+b-t)dt\]
が成り立つことを示せ.
解答例
$t = a+b-x$ とおくと, $x = a+b-t,$ $\dfrac{dx}{dt} = -1$ となるから,
\[\int_a^bf(x)dx = \int_b^af(a+b-t)(-1)dt = \int_a^bf(a+b-t)dt\]
が得られる.
問題《逆正接関数の性質》
関数 $f(x)$ $(x > 0)$ を
\[ f(x) = \int_0^x\frac{dt}{1+t^2}\]
で定める.
- (1)
- $f(x)$ の導関数を求めよ.
- (2)
- $f(x)+f(x^{-1}) = \dfrac{\pi}{2}$ が成り立つことを示せ.
解答例
- (1)
- 微分積分学の基本定理により, \[ f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\] である.
- (2)
- $\varphi (x) = f(x)+f(x^{-1})$ $(x > 0)$ とおく. このとき, \[\begin{aligned} \varphi '(x) &= f'(x)+f'(x^{-1})\cdot (x^{-1})' \\ &= \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+(x^{-1})^2}\cdot (-x^{-2}) \\ &= \frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2+1} = 0 \end{aligned}\] であるから, $\varphi (x)$ は定数関数である. その値は \[\begin{aligned} \varphi (1) &= 2f(1) = 2\int_0^1\frac{dt}{1+t^2} \\ &= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\tan ^2\theta}\cdot\frac{1}{\cos ^2\theta}d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta \\ &= 2[\theta ]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{2} \end{aligned}\] であるから, \[ f(x)+f(x^{-1}) = \dfrac{\pi}{2} \quad (x > 0)\] が成り立つ.
参考
- $f(x)$ は $\tan x$ の逆関数であり. $\arctan x$ で表される.
- (2) は, 正接の余角公式 \[\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \frac{1}{\tan\theta}\] から示すこともできる. 実際, $x = \tan\theta$ とおくと, $\arctan x = \theta$ となるから, $\arctan x^{-1} = \dfrac{\pi}{2}-\arctan x$ つまり \[\arctan x +\arctan x^{-1} = \frac{\pi}{2} \quad (x > 0)\] となる.