有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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積分法(数学 III)

不定積分

定理≪不定積分の線形性≫

 連続な関数 $f(x),$ $g(x),$ 定数 $k$ に対して, \begin{align*} \int kf(x)dx &= k\int f(x)dx, \\ \int\{ f(x)\pm g(x)\} dx &= \int f(x)dx\pm\int g(x)dx \end{align*} が成り立つ.

証明

 $F(x),$ $G(x)$ をそれぞれ $f(x),$ $g(x)$ の不定積分の $1$ つとすると, 導関数の線形性により \begin{align*} \{ kF(x)\} ' &= kF'(x) = kf(x), \\ \{ F(x)\pm G(x)\} ' &= F'(x)\pm G'(x) = f(x)\pm g(x) \end{align*} となるから, 求める等式が従う.

定理≪部分積分法≫

 微分可能な関数 $f(x),$ $g(x)$ に対して \[\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\] が成り立つ.

証明

 積の微分法により \[\{ f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\] であるから, 両辺を $x$ で積分すると \begin{align*} f(x)g(x) &= \int\{ f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\} dx \\ &= \int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx \\ \int f(x)g'(x)dx &= f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx \end{align*} が得られる.

定理≪置換積分法≫

(1)
連続な関数 $f(x),$ 微分可能な関数 $x = g(t)$ に対して \[\int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t)dt\] が成り立つ.
(1)'
連続な関数 $f(u),$ 微分可能な関数 $u = g(x)$ に対して \[\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\] が成り立つ.
(2)
連続な関数 $f(x),$ 実数 $a,$ $b$ ($a \neq 0$)に対して, $F(x)$ を $f(x)$ の不定積分の $1$ つとすると, \[\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C\] ($C$: 積分定数)が成り立つ.
(3)
微分可能な関数 $f(x)$ が常に $f(x) \neq 0$ を満たすとき, \[\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)|+C\] ($C$: 積分定数)が成り立つ.

証明

(1)
$y = F(x)$ を $f(x)$ の不定積分の $1$ つとすると, 合成関数の微分法により \[ f(x) = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = F'(x)g'(t) = f(g(t))g'(t)\] となるから, 両辺を $2$ 通りの不定積分で表せば, 求める等式が得られる.
(1)'
(1) において, $x,$ $t$ をそれぞれ $u,$ $x$ に置き換えればよい.
(2)
(1)' において $u = g(x) = ax+b$ とすると, \begin{align*} \int f(ax+b)\cdot adx &= \int f(u)du = F(u)+C \\ a\int f(ax+b)dx &= F(ax+b)+C \end{align*} から, 求める等式が得られる.
(3)
(1)' において $f(u),$ $u = g(x)$ をそれぞれ $\dfrac{1}{u},$ $u = f(x)$ で置き換えると, \[\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \int\frac{du}{u} = \log |u|+C = \log |f(x)|+C\] が得られる.

定理≪べき関数の不定積分≫

 すべての実数 $\alpha$ に対して, \[\int x^\alpha dx = \begin{cases} \dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C & (\alpha \neq -1), \\ \log |x|+C & (\alpha = -1) \end{cases}\] ($C$: 積分定数)が成り立つ.

証明

 $(x^{\alpha +1})' = (\alpha +1)x^\alpha,$ つまり $\left(\dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right) ' = x^\alpha$ $(\alpha \neq -1)$ と, $(\log |x|)' = \dfrac{1}{x}$ から従う.

定理≪三角関数の不定積分≫

\begin{align*} \int\!\cos xdx &\!=\! \sin x\!+\!C, \!\!\!\!\!&\!\!\!\!\! \int\!\sin xdx &\!=\! -\cos x\!+\!C, \\ \int\!\tan xdx &\!=\! -\log |\cos x|\!+\!C, \!\!\!\!\!&\!\!\!\!\! \int\!\frac{dx}{\tan x} &\!=\! \log |\sin x|\!+\!C, \\ \int\!\frac{dx}{\cos ^2x} &\!=\! \tan x\!+\!C, \!\!\!\!\!&\!\!\!\!\! \int\!\frac{dx}{\sin ^2x} &\!=\! -\frac{1}{\tan x}\!+\!C \end{align*} ($C$: 積分定数)が成り立つ.

証明

 第 $1$ 式と第 $2$ 式は, それぞれ $(\sin x)' = \cos x$ と, $(\cos x)' = -\sin x$ つまり $(-\cos x)' = \sin x$ から従う.
 第 $3$ 式と第 $4$ 式は, 置換積分法により \begin{align*} \int\tan xdx &= \int\frac{-(\cos x)'}{\cos x}dx = -\log |\cos x|+C, \\ \int\frac{dx}{\tan x} &= \int\frac{(\sin x)'}{\sin x}dx = -\log |\sin x|+C \end{align*} と示すことができる.
 第 $5$ 式と第 $6$ 式は, それぞれ $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos ^2x}$ と, $\left(\dfrac{1}{\tan x}\right) ' = -\dfrac{1}{\sin ^2x}$ つまり $\left( -\dfrac{1}{\tan x}\right) ' = \dfrac{1}{\sin ^2x}$ から従う.

定理≪指数関数・対数関数の不定積分≫

 $a > 0,$ $a \neq 1$ のとき, \begin{align*} \int a^xdx &= \frac{a^x}{\log a}+C, \\ \int e^xdx &= e^x+C, \\ \int\log _axdx &= \frac{1}{\log a}(x+x\log x)+C, \\ \int\log xdx &= x+x\log x+C \end{align*} ($C$: 積分定数)が成り立つ.

証明

 第 $1$ 式, 第 $2$ 式は, $(a^x)' = a^x\log a$ つまり $\left(\dfrac{a^x}{\log a}\right)' = a^x$ から従う.
 第 $3$ 式は, 底の変換公式と第 $4$ 式 \begin{align*} \int\log xdx &= \int (x)'\log xdx \\ &= x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx \\ &= x+x\log x+C \end{align*} から従う.

定積分

定理≪微分積分学の基本定理≫

 $a,$ $b$ を実数とする.
(1)
$a$ を含む区間 $I$ で定義された連続関数 $f(x)$ に対して, 区間 $I$ の端点を除く部分で \[\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt = f(x)\] が成り立つ.
(2)
関数 $f(x)$ が開区間 $(a,b)$ を含む区間で微分可能なとき, \[\int_a^bf'(x)dx = f(b)-f(a)\] が成り立つ.
(3)
関数 $f(x)$ の不定積分が $F(x)$ であるとき, \[\int_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)\] が成り立つ.

問題≪三角関数の直交性≫

(1)
$m,$ $n$ を相異なる整数とする. 定積分
(A)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx$ 
(B)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx$ 
(C)
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx$ 
の値を求めよ.
(2)
\[ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k = 1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\] であるとき, 非負整数 $k$ に対して \begin{align*} a_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx, \\ b_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \end{align*} が成り立つことを示せ.

解答例

(1)
(A)
積和の公式により, \begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m+n)x+\cos (m-n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m+n)x}{m+n}+\frac{\sin (m-n)x}{m-n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0 \end{align*} である.
(B)
\begin{align*} \sin m(-x)\cos n(-x) &= (-\sin mx)\cos nx \\ &= -\sin mx\cos nx \end{align*} から $\sin mx\cos nx$ は奇関数であるので, \[\int_{-\pi}^\pi\sin mx\cos nxdx = 0\] である.
(C)
積和の公式により, \begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nxdx \\ &= \int_{-\pi}^\pi\frac{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x}{2}dx \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m-n)x}{m-n}-\frac{\sin (m+n)x}{m+n}\right] _{-\pi}^\pi \\ &= 0 \end{align*} である.
(2)
\begin{align*} &\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx \\ &= \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi\cos kxdx \\ &\ +\!\sum_{j = 1}^n\left(\!a_j\!\!\int_{-\pi}^\pi\!\cos jx\cos kxdx\!+\!b_j\!\int_{-\pi}^\pi\!\cos jx\sin kxdx\!\right) \\ &= a_k\pi, \\ &\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \\ &= \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi\sin kxdx \\ &\ +\!\sum_{j = 1}^n\left(\!a_j\!\!\int_{-\pi}^\pi\!\cos jx\sin kxdx\!+\!b_j\!\int_{-\pi}^\pi\!\sin jx\sin kxdx\!\right) \\ &= b_k\pi \end{align*} から, \begin{align*} a_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kxdx, \\ b_k &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kxdx \end{align*} が成り立つ.

背景

  • 解析学において, 関数をベクトルのように扱って, 連続関数 $f(x),$ $g(x)$ $(a \leqq x \leqq b)$ の「内積」$\langle f,g\rangle$ を定積分 \[\langle f,g\rangle = \int_a^bf(x)g(x)dx\] で定義することがある.
  • この内積が $0$ になるという意味で, 三角関数 $\cos mx,$ $\cos nx,$ $\sin mx,$ $\sin nx$ $\left( -\pi \leqq x \leqq \pi,\right.$ $\left.m \neq n\right)$ は互いに「直交」している. この結果は「フーリエ解析」(Fourier analysis)と呼ばれる理論で重要な役割を果たす. 「フーリエ解析」では, 関数 $f(x)$ を \[ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n = 0}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)\] の形に「フーリエ級数展開」して(多くの関数で可能), その挙動を調べる.