有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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剰余の定理・因数定理

剰余の定理

定理≪剰余の定理≫

 整式 $f(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの余りは $f(\alpha )$ である.

証明

 $f(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの商を $q(x),$ 余りを $r$ とおくと, \[ f(x) = (x-\alpha )q(x)+r\] となる. このとき, $x = \alpha$ を代入すると, $f(\alpha ) = r$ となる.

定理≪因数定理≫

 整式 $f(x)$ に対して,
$f(x)$ が $1$ 次式 $x-\alpha$ で割り切れる $\iff$ $f(\alpha ) = 0$
が成り立つ.

証明

 剰余の定理により, $f(x)$ を $x-\alpha$ で割った余りは $f(\alpha )$ であるから,
$f(x)$ が $x-\alpha$ で割り切れる $\iff$ $f(\alpha ) = 0$
が成り立つ.

問題≪虚数単位の最小多項式≫

 有理数係数多項式 $f(x)$ に対して, $f(i) = 0$ であるならば, $f(x)$ は $x^2+1$ で割り切れることを示せ. また, $x^2+1$ はこの条件を満たす次数最小の有理数係数多項式であることを示せ. ただし, $0$ の次数は考えないものとする.

解答例

 $f(i) = 0$ であるとする. このとき, 因数定理により, $f(x)$ は $x-i$ で割り切れる.
また, $f(x) = \displaystyle\sum_{k = 0}^na_kx^k$ ($a_k$: 有理数)とおくと, \begin{align*} f(-i) &= \sum_{k = 0}^na_k(-i)^k = \sum_{k = 0}^na_k{\bar i}^k = \overline{\sum_{k = 0}^na_ki^k} \\ &= \overline{f(i)} = \bar 0 = 0 \end{align*} となるから, 因数定理により $f(x)$ は $x+i$ で割り切れる.
ゆえに, $f(x)$ は $(x-i)(x+i) = x^2+1$ で割り切れる.
 このとき, $f(x)$ は有理数係数多項式 $q(x)$ を用いて $f(x) = (x^2+1)q(x)$ と表せるから, $f(x)$ の次数は $2$ 以上である. ゆえに, $x^2+1$ は条件を満たす次数最小の有理数係数多項式である.

前半の別解

$f(x)$ を $x^2+1$ で割ったときの商を $q(x),$ 余りを $ax+b$ ($a,$ $b$: 有理数)とおく. $f(i) = 0$ であるとき, \[ (i^2+1)q(i)+ai+b = 0 \quad\text{つまり}\quad ai+b = 0\] となるから, $a,$ $b$ は有理数であることから $a = b = 0$ となる. よって, $f(x)$ は $x^2+1$ で割り切れる.

背景

 $\mathbb Q$ を有理数全体の集合, $\alpha$ を複素数とする. ある有理数係数多項式 $f(x)$ に対して $f(\alpha ) = 0$ となるとき, そのような次数最小の有理数係数多項式 $f(x)$ を $\alpha$ の $\mathbb Q$ 上の「最小多項式」と呼ぶ. 一般に, $\alpha$ の $\mathbb Q$ 上の「最小多項式」は $f(\alpha ) = 0$ を満たす $\mathbb Q$ 上の「既約多項式」$f(x)$ であることが知られている. 「最小多項式」の概念は, 方程式の理論の中で基本的な役割を果たす.

問題≪一致の定理とラグランジュの補間公式≫

 次のことを示せ.
(1)
$n$ 次以下の整関数 $f(x),$ $g(x)$ が $n+1$ 個の異なる点 $x = x_0,$ $x_1,$ $\cdots,$ $x_n$ でそれぞれ同じ値をとるならば, $f(x),$ $g(x)$ は関数として一致する.
(2)
グラフが $x$ 座標の異なる $3$ 点 $\mathrm P_0(x_0,y_0),$ $\mathrm P_1(x_1,y_1),$ $\mathrm P_2(x_2,y_2)$ を通る $2$ 次関数は \begin{align*} p(x) &\!=\! y_0\frac{(x\!-\!x_1)(x\!-\!x_2)}{(x_0\!-\!x_1)(x_0\!-\!x_2)}\!+\!y_1\frac{(x\!-\!x_2)(x\!-\!x_0)}{(x_1\!-\!x_2)(x_1\!-\!x_0)} \\ &\qquad \!+\!y_2\frac{(x\!-\!x_0)(x\!-\!x_1)}{(x_2\!-\!x_0)(x_2\!-\!x_1)} \end{align*} に一致する.

解答例

(1)
$n$ 次以下の整関数 $f(x),$ $g(x)$ が $f(x_k) = g(x_k)$ $(0 \leqq k \leqq n)$ を満たすとする. このとき, $f(x_k)-g(x_k) = 0$ となるから, 因数定理により, ある定数 $a$ に対して \[ f(x)-g(x) = a(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)\] となる. ここで, $f(x)-g(x)$ は $n$ 次以下であり, $(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$ は $n+1$ 次であるから, $f(x)-g(x) = 0,$ $a = 0$ でなければならない. ゆえに, $f(x) = g(x)$ が成り立つ.
(2)
\begin{align*} p(x_0) &\!=\! y_0\frac{(x_0\!-\!x_1)(x_0\!-\!x_2)}{(x_0\!-\!x_1)(x_0\!-\!x_2)}\!+\!y_1\frac{(x_0\!-\!x_2)\cdot 0}{(x_1\!-\!x_2)(x_1\!-\!x_0)} \\ &\qquad \!+\!y_2\frac{0\cdot (x_0\!-\!x_1)}{(x_2\!-\!x_0)(x_2\!-\!x_1)} \\ &\!=\! y_0 \end{align*} であり, 同様に $p(x_1) = y_1,$ $p(x_2) = y_2$ が成り立つから, グラフが $3$ 点 $\mathrm P_0,$ $\mathrm P_1,$ $\mathrm P_2$ を通る $2$ 次関数の $1$ つとして $p(x)$ が挙げられる. このような $2$ 次関数は, 異なる $3$ 点 $x = x_0,$ $x_1,$ $x_2$ でそれぞれ $p(x)$ と同じ値 $y_0,$ $y_1,$ $y_2$ をとるから, (1) の結果により $p(x)$ に一致する.

背景

  • (1) の結果は, 整関数に関する「一致の定理」(identity theorem, coincidence principle)として知られている.
  • (2) について一般に, グラフが $x$ 座標の異なる $n+1$ 個の点 $(x_0,y_0),$ $(x_1,y_1),$ $\cdots,$ $(x_n,y_n)$ を通る $n$ 次関数は \begin{align*} p(x) &= \sum_{k = 0}^ny_k\prod_{l \neq k}\frac{x-x_l}{x_k-x_l} \end{align*} と表される. ここで, $\displaystyle\prod_{l \neq k}\frac{x-x_l}{x_k-x_l}$ は $l \neq k,$ $0 \leqq l \leqq n$ なる整数 $l$ にわたる $\dfrac{x-x_l}{x_k-x_l}$ の積を表す. この公式は「ラグランジュの補間公式」(Lagrange's interpolation formula)と呼ばれ, 数値解析などの分野で重要な役割を果たす.