有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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既約多項式

既約多項式

 $A$ を単位的可換環とする.

定義≪既約多項式≫

(1)
定数でない $A$ 上の多項式 $f(x)$ が定数と $f(x)$ の定数倍を除く $A$ 上のすべての多項式で割り切れないとき, $f(x)$ は $A$ 上既約(irreducible)であるという.
(2)
$A$ 上既約でない多項式は, 可約(reducible)であるという.

例≪既約多項式≫

(1)
$A$ 上の $1$ 次多項式は $A$ 上既約である.
(2)
$x^2-2$ が $x^2-2 = (ax+b)(cx+d)$ ($a,$ $b,$ $c,$ $d$: 定数)と因数分解できるとすると, $\sqrt 2 = -\dfrac{b}{a}$ または $\sqrt 2 = -\dfrac{d}{c}$ となり, $\sqrt 2$ が無理数であることにより $a,$ $b,$ $c,$ $d$ は有理数とはならないので, $x^2-2$ は有理数体 $\mathbb Q$ 上既約である.
(3)
$x^2-1 = (x+1)(x-1)$ は $A$ 上可約である.

定理≪多項式の既約分解≫

 体 $K$ 上の定数でないすべての多項式 $f(x)$ は, $K$ 上の既約多項式 $f_1(x),$ $\cdots,$ $f_r(x)$ の積に \[ f(x) = f_1(x)\cdots f_r(x) \quad \cdots [1]\] と分解することができる. この表示は, $f_1(x),$ $\cdots,$ $f_r(x)$ の順序と定数倍の違いを除いてただ $1$ 通りである.

証明

 分解の存在: 体 $K$ 上の定数でない多項式 $f(x)$ は, $K$ 上可約であれば, より次数の低い $K$ 上の多項式 $g(x),$ $h(x)$ の積 $f(x) = g(x)h(x)$ に分解される. $g(x),$ $h(x)$ は, 可約であれば, より次数の低い $K$ 上の多項式の積に分解される. この操作を繰り返せば, $f(x)$ は高々 $\deg f(x)$ 個の $K$ 上の多項式 $f_1(x),$ $\cdots,$ $f_r(x)$ の積に分解され, どれもより次数の低い多項式の積に分解できなくなる. このとき $f_1(x),$ $\cdots,$ $f_r(x)$ は $K$ 上既約であるから, $f(x)$ は $K$ 上の既約多項式の積 $[1]$ に分解することができる.
 分解の一意性: $f(x)$ が体 $K$ 上の既約多項式 $g_1(x),$ $\cdots,$ $g_s(x)$ の積 $f(x) = g_1(x)\cdots g_s(x)$ としても表されたとする. $r,$ $s > 1$ のとき, \[ f_1(x)\cdots f_r(x) = g_1(x)\cdots g_s(x)\] が成り立ち, 右辺は既約多項式 $f_r(x)$ で割り切れるから, 補題によりある $g_j(x)$ ($1 \leqq j \leqq s$)は $f_r(x)$ で割り切れる. よって, 必要に応じて番号をつけ替えると, $f_r(x) = c_rg_s(x)$ $(c_r \in K)$ となる. このとき, \[ f_1(x)\cdots f_{r-1}(x) = c_rg_1(x)\cdots g_{s-1}(x)\] となるから, 必要に応じて番号をつけ替えながら同様の操作を続けると, \[ r = s, \quad f_j(x) = c_jg_j(x) \quad (c_j \in K)\] となる. ここで, $r = s$ となるのは, 既約多項式の積が定数となることはないからである. ゆえに, 表示 $[1]$ は, 順序と定数倍の違いを除いてただ $1$ 通りである.

補題≪既約多項式は素元≫

 $p(x)$ を体 $K$ 上の既約多項式とする. このとき, $K$ 上のすべての多項式 $f(x),$ $g(x)$ に対して, $f(x)g(x)$ が $p(x)$ の倍多項式ならば, $f(x)$ または $g(x)$ は $p(x)$ の倍多項式である.

証明

 $f(x)g(x)$ が $p(x)$ の倍多項式であり, $f(x)$ が $p(x)$ の倍多項式でないとすると, $f(x),$ $p(x)$ は互いに素であるから, $sf(x)+tp(x) = 1$ を満たす $K$ 上の多項式 $s,$ $t$ が存在する. よって, $g(x) = sf(x)g(x)+tg(x)p(x)$ は $p(x)$ の倍多項式である.

定理≪アイゼンシュタインの既約判定法≫

 ある素数 $p$ に対して,
(E1)
最高次の項の係数が $p$ で割り切れる
(E2)
それ以外の係数が $p$ で割り切れる
(E3)
定数項が $p^2$ で割り切れない
という条件を同時に満たす整数係数多項式は有理数体 $\mathbb Q$ 上既約である.
 一般に, この定理は一意分解整域 $A$ とその分数体 $K,$ および $A$ の素元 $p$ に対して成り立つ.

問題

数学 A: 整数の性質

問題≪アイゼンシュタイン多項式≫

 $n$ を $2$ 以上の整数, $p$ を素数, $a_0,$ $\cdots,$ $a_{n-1}$ を $p$ の倍数とする. 多項式 \[ f(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\] について, 次が成り立つことを示せ.
(1)
$f(x) = 0$ が整数解 $\alpha$ をもつ $\Longrightarrow$ $\alpha$ は $p$ で割り切れる.
(2)
$a_0$ が $p^2$ で割り切れない $\Longrightarrow$ $f(x) = 0$ は整数解をもたない.
(参考: 1996 京都大)

解答例

 こちらを参照.