有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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体の代数拡大

体の代数拡大

 四則演算が定義され, 交換法則と結合法則, 分配法則を満たす数の集合を (field) と呼ぶ. 有理数全体 $\mathbb Q$ は通常の四則演算に関して体を成す. これを有理数体 (field of rational numbers) と呼ぶ. 現代数学において, 方程式論は体の理論, 体論として展開されている.

定義《体の代数拡大》

(1)
体 $K$ の要素を係数とするある多項式 $f(x)$ に対して $f(x) = 0$ の解となるような数は $K$ 上代数的 (algebraic) であるという.
(2)
体 $K$ 上代数的な数 $\alpha$ に対して, $f(\alpha ) = 0$ を満たす次数最小の多項式 $f(x)$ を $\alpha$ の最小多項式 (minimal polynomial) と呼ぶ.
(3)
$K$ を含む体 $L$ のすべての要素が $K$ 上代数的であるとき, $L$ を $K$ の代数拡大体 (algebraic extension) と呼ぶ.

例《$2$ 次体》

 平方数でない整数 $d$ に対して, 集合 $\{ a+b\sqrt d|a,b \in \mathbb Q\}$ は $\mathbb Q$ の代数拡大体である. これを $2$ 次体 (quadratic field) と呼ぶ.

分解体

定理《分解体の存在》

 体 $K$ 上の多項式 $f(x)$ に対して, $f(x)$ の根をすべて含むような $K$ の拡大体 $L$ が存在する.
 特に, 体 $K$ 上の既約多項式 $p(x)$ に対して, $p(x)$ が $L$ において少なくとも $1$ つの根をもつように, $K$ の拡大体 $L$ が構成できる. $p(x)$ の根 $\alpha$ を含む $K$ の拡大体のうち包含関係に関して最小のものは \[ L = \{ f(\alpha ) \mid f(x) \in K[x]\}\] と表される.

証明

 後半, 前半の順に示す.
  • 後半: $p(x)$ を体 $K$ 上の $n$ 次既約多項式とする. 通常の定義では, $K$ を部分環として含み, $\alpha$ を含む環 $\mathit\Omega$ が存在するときに初めて $K$ 上の多項式 $f(x)$ に $x = \alpha$ が代入できる. そこで, 形式的に, $K$ 上の多項式 $f(x) = a_mx^m+\cdots +a_1x+a_0$ に $x = \alpha$ を代入した値 $f(\alpha )$ を \[ f(\alpha ) = a_m\alpha ^m+\cdots +a_1\alpha +a_0 \quad \cdots [1]\] で定め, 特別な関係式 \[ p(\alpha ) = 0\] が成り立つとして, $[1]$ の形の式全体を $K(\alpha )$ で表すことにする. さらに, $K(\alpha )$ における加法, 乗法をそれぞれ \[ f(\alpha )+g(\alpha ) = (f+g)(\alpha ), \quad f(\alpha )g(\alpha ) = (fg)(\alpha )\] $(f(x),\ g(x) \in K[x])$ で定める. このとき, $K(\alpha )$ が $K$ の拡大体であることを示す.
     $K(\alpha )$ が環であることは, $K(\alpha )$ の加法, 乗法の定義と $K[x]$ が環であることから容易に確認できる.
     ここでは, $K(\alpha )$ の $0$ 以外の元が可逆であることを示す. $K(\alpha )$ の元 $f(\alpha )$ $(f(x) \in K[x]\setminus\{ 0\})$ をとる. $f(x)$ を $p(x)$ で割った商を $q(x),$ 余りを $r(x)$ とおくと \[ f(\alpha ) = p(\alpha )q(\alpha )+r(\alpha ) = r(\alpha ), \quad \deg r(x) \leqq n-1\] となるから, 必要に応じて $f(x)$ を $r(x)$ に取り替えることにより, $f(x)$ は $n-1$ 次以下であるとしてよく, 特に $n$ 次既約多項式 $p(x)$ と互いに素であるとしてよい. このとき, \[ f(x)u(x)+p(x)v(x) = 1\] を満たす $K$ 上の多項式 $u(x),$ $v(x)$ が存在する. $\alpha$ を代入すると \[ 1 = f(\alpha )u(\alpha )+p(\alpha )v(\alpha ) = f(\alpha )u(\alpha )\] となるから, $K(\alpha )$ において $f(\alpha )$ は乗法に関する逆元 $u(\alpha )$ をもつ. よって, $K(\alpha )$ は体である.
     また, $K$ の元 $a$ に対して $f(x) = a$ とすると $a = f(\alpha ) \in K[\alpha ]$ となるから, $K(\alpha )$ は $K$ を含む.
     これで, 代入 $[1],$ 関係式 $p(\alpha ) = 0$ の意味も正当化された.
     さらに, $K$ の拡大体 $L$ が $p(x)$ の根 $\alpha$ を含むとすると, $L$ は \[ K(\alpha ) = \{ a_0+a_1\alpha +\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1} \mid a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_{n-1} \in K\}\] を含む.
     よって, $K(\alpha )$ は $\alpha$ を含む $K$ の拡大体のうち包含関係に関して最小のものである. 以下, この $K$ の拡大体 $K(\alpha )$ を $K$ に $\alpha$ を添加した体と呼ぶことにする.
  • 前半: $f(x)$ が $K$ 上の $1$ 次式の積に分解されるとき, $L = K$ とすればよい.
     $f(x)$ が $K$ 上の $2$ 次以上の既約多項式 $p_1(x)$ で割り切れるとき, $p_1(x)$ の根となり得る元 $\alpha _1$ を $K$ に添加して $K_1 = K(\alpha _1)$ を定める. $f(x)$ を $x-\alpha _1$ で割り切れるだけ割った多項式が $K_1$ 上の $2$ 次以上の既約多項式 $p_2(x)$ で割り切れるとき, 同様に $p_2(x)$ の根となり得る元 $\alpha _2$ を $K_1$ に添加して $K_2 = K_1(\alpha _2)$ を定める. この操作を続けると, $f(x)$ を $x-\alpha _1,$ $\cdots,$ $x-\alpha _r$ で割り切れるだけ割った多項式は $1$ 次式の積または定数になり, $f(x)$ のすべての根は体 $K_r = K_{r-1}(\alpha _r)$ に含まれるようになる. この体を $L$ とすればよい.

定義《分解体》

 $f(x)$ を体 $K$ 上の多項式とする.
(1)
$f(x)$ がその上で $1$ 次式の積に分解するような $K$ の拡大体を $f(x)$ の $K$ 上の分解体 (splitting field) と呼ぶ.
(2)
$L$ が $f(x)$ の $K$ 上の分解体であり, $L/K$ の真の中間体が $f(x)$ の $K$ 上の分解体になり得ないとき, $L$ を $f(x)$ の $K$ 上の最小分解体 (minimal splitting field) と呼ぶ.

体の有限次拡大

定義《体の有限次拡大》

 $L/K$ を体の拡大とする.
(1)
$L$ の元の組 $(\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon _n)$ で, $L$ の各元 $\alpha$ が \[\alpha = a_1\varepsilon _1+\cdots +a_n\varepsilon _n \quad (a_1,\cdots,a_n \in K)\] と一意的に表されるようなものが存在するとする. このとき, $L$ を $K$ の $n$ 次拡大体または単に有限次拡大体, $L/K$ を $n$ 次拡大 (extension of degree $n$) または単に有限次拡大 (finite extension) と呼ぶ. また, $n$ を $L/K$ の拡大次数 (degree of a field extension) と呼んで $[L:K]$ で表す. さらに, $(\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon _n)$ を $L/K$ の基底 (basis) と呼ぶ.
(2)
$L$ の元 $\varepsilon _1,$ $\cdots,$ $\varepsilon _n$ は, $K$ の各元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ に対して \[ a_1\varepsilon _1+\cdots +a_n\varepsilon _n = 0 \Longrightarrow a_1 = \cdots = a_n = 0\] を満たすとき, $K$ 上線形独立 (linearly independent) であるという.

定理《体の拡大における有限性の連鎖》

 体の拡大の列 $L \supset M \supset K$ に対して,
$L/M,$ $M/K$ が有限次拡大 $\iff$ $L/K$ が有限次拡大
が成り立つ. また, このとき \[ [L:M][M:K] = [L:K]\] が成り立つ (拡大次数の連鎖律).

証明

 まず, $(\Longrightarrow )$ と等式 $[L:M][M:K] = [L:K]$ を示すため, $L/M$ が $m$ 次拡大, $M/K$ が $l$ 次拡大であるとし, $(\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon _m)$ を $L/M$ の基底, $(e_1,\cdots,e_l)$ を $M/K$ の基底とする. $\alpha \in L$ とする. このとき, $\alpha$ は $M$ の元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_m$ を用いて \[\alpha = a_1\varepsilon _1+\cdots +a_m\varepsilon _m \quad \cdots [1]\] と表される. さらに, $a_1,$ $\cdots,$ $a_m$ は, $K$ の元 $a_{11},$ $\cdots,$ $a_{l1},$ $\cdots,$ $a_{1m},$ $\cdots,$ $a_{lm}$ を用いて \[\begin{cases} a_1 = a_{11}e_1+\cdots +a_{l1}e_l, \\ \quad\ \ \vdots \\ a_m = a_{1m}e_1+\cdots +a_{lm}e_l \end{cases} \quad \cdots [2]\] と表される. よって, $\alpha$ は \[\begin{aligned} \alpha &= (a_{11}e_1+\cdots +a_{l1}e_l)\varepsilon _1+\cdots +(a_{1m}e_1+\cdots +a_{lm}e_l)\varepsilon _m \\ &= a_{11}e_1\varepsilon _1+\cdots +a_{l1}e_l\varepsilon _1+\cdots +a_{1m}e_1\varepsilon _m+\cdots +a_{lm}e_l\varepsilon _m \end{aligned}\] と表される. また, この式が $0$ であるとすると, $[1]$ と $\varepsilon _1,$ $\cdots,$ $\varepsilon _m$ が $M$ 上線形独立であることにより $a_1 = \cdots = a_m = 0$ となり, $[2]$ により \[ a_{11}e_1+\cdots +a_{l1}e_l = \cdots = a_{1m}e_1+\cdots +a_{lm}e_l = 0\] となるから, $e_1,$ $\cdots,$ $e_l$ が $K$ 上線形独立であることにより \[ a_{11} = \cdots = a_{l1} = \cdots = a_{1m} = \cdots = a_{lm} = 0\] となる. よって, $(e_1\varepsilon _1,\cdots,e_l\varepsilon _1,\cdots,e_1\varepsilon _m,\cdots,e_l\varepsilon _m)$ は $L/K$ の基底であるから, $L/K$ は $lm$ 次拡大である.
 次に, $(\Longleftarrow )$ を示すため, $L/K$ が $n$ 次拡大であるとし, $(\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon_n)$ を $L/K$ の基底とする.
  • $L$ の任意の元 $\alpha$ は $K$ の元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ を用いて \[\alpha = a_1\varepsilon _1+\cdots +a_n\varepsilon _n \quad \cdots [3]\] と表される. $\varepsilon _{i_1},$ $\cdots,$ $\varepsilon _{i_m}$ を $\{\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon _n\}$ に含まれる $M$ 上線形独立な元のうち個数が最大のものとする. $i_1 = 1,$ $\cdots,$ $i_m = m$ としても一般性を失わない. 各番号 $i$ $(m+1 \leqq i \leqq n)$ に対して, $m+1$ 個の元 $\varepsilon _1,$ $\cdots,$ $\varepsilon _m,$ $\varepsilon _i$ は $M$ 上線形独立でないから, $M$ のある元 $a_{1i},$ $\cdots,$ $a_{mi},$ $b_i$ $(\beta _i \neq 0)$ に対して \[ a_{1i}\varepsilon _1+\cdots +a_{mi}\varepsilon _m+b_i\varepsilon _i = 0\] となり, $\varepsilon _i$ は \[\varepsilon _i = -\frac{a_{1i}}{b_i}\varepsilon _1-\cdots -\frac{a_{mi}}{b_i}\varepsilon _m \quad \cdots [4]\] と表される. $[4]$ を $[3]$ に代入して整理すると, \[\begin{aligned} \alpha &= \left( a_1-\frac{a_{m+1}a_{1(m+1)}}{b_{m+1}}-\cdots -\frac{a_na_{1n}}{b_n}\right)\varepsilon _1+\cdots \\ &\qquad +\left( a_m-\frac{a_{m+1}a_{m(m+1)}}{b_{m+1}}-\cdots -\frac{a_na_{mn}}{b_n}\right)\varepsilon _m \end{aligned}\] が得られる. よって, $(\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon _m)$ は $L/M$ の基底であるから, $L/M$ は有限次拡大である.
  • $M$ の元 $\alpha$ は, $L$ の元でもあるから, $K$ の元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ を用いて \[\alpha = a_1\varepsilon _1+\cdots +a_n\varepsilon _n\] と表される. そこで, $M$ の各元 $\alpha$ に対し $a_i = 0$ を満たす番号 $i$ について $\varepsilon _i$ を $(\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon _n)$ から除けば, $M/K$ の基底が得られる. よって, $M/K$ は有限次拡大である.

代数的閉体

定義《体の代数的閉包, 代数的閉体》

(1)
体 $K$ に対して, $K$ 上代数的な数全体からなる体を $K$ の代数的閉包 (algebraic closure) と呼び, $\bar K$ で表す.
(2)
体 $K$ の代数的閉包が $K$ 自身に一致するとき, $K$ を代数的閉体 (algebraic closed field) と呼ぶ.

定理《代数学の基本定理》

 複素数体 $\mathbb C$ は代数的閉体である. すなわち, 任意の正の整数 $n$ に対して, $\mathbb C$ 上の任意の $n$ 次方程式は重複度込みでちょうど $n$ 個の複素数解をもつ.

証明

 因数定理により, 定数でない $\mathbb C$ 上の多項式 $f(x)$ が複素数の範囲に $1$ つでも根をもつことを示せば十分である.
 関数 \[ F:\mathbb C\to\mathbb R;z\mapsto |f(z)|\] について, $|z|$ が大きくなれば $|f(z)|$ も大きくなるから, ある実数 $r$ に対して $|z| > |w| = r$ ならば $F(z) > F(w)$ となる. さらに, $F$ は連続であるから, 最大値・最小値の原理により $F$ は縁付き円板 $|z| \leqq r$ において最小値をもつ. よって, $F$ は $\mathbb C$ 全体において最小値をもつ.
 $F$ が $z = \alpha$ で最小値をとるとして,
$F(\alpha) = 0$ つまり $f(\alpha ) = 0$
であることを示す. $f(x)$ が $x = \alpha$ を根にもつことと $f(x+\alpha ) が$ $x = 0$ を根にもつことは同値であるから, $F$ が $z = 0$ で最小値をとるとしても一般性を失わない. その場合に $f(x)$ を
$f(x) = a_0+a_mx^m+($次数が $m$ より大きい項$)$
($a_0,$ $a_m \in \mathbb C,$ $a_m \neq 0,$ $m$: 正の整数)
と表し, $a_0 \neq 0$ であるとして矛盾を導く.
 $c$ を $-a_0{}^{-1}a_m$ の $m$ 乗根の $1$ つとして, $X = cx$ とおくと, $f(x)$ は \[ f(x) = a_0(1-X^m+X^{m+1}q(X)) \quad (q(X) \in \mathbb C[X])\] と表せる. $\lim\limits_{t \to 0}tq(t) = 0$ よって $\lim\limits_{t \to 0}t|q(t)| = 0$ であるから, $0 < t < 1$ の範囲に $t|q(t)| < 1$ を満たす実数 $t$ が存在する.
 実際, $\varepsilon = 1$ に対して $0 < |t| < \delta$ $\Longrightarrow$ $t|q(t)| < \varepsilon$ を満たす正の数 $\delta$ が存在するから, $0 < |t| < \delta$ と $|t| < 1$ の共通部分に属する実数 $t$ に対して $t|q(t)| < 1$ が成り立つ. このような $t$ を $1$ つとると, 必要ならば $t$ の符号を付け替えることにより, $0 < t < 1,$ $t|q(t)| < 1$ を満たす実数 $t$ が得られる.
 このような $t$ をとると, 三角不等式により \[\begin{aligned} |1-t^m+t^{m+1}q(t)| &\leqq |1-t^m|+|t^{m+1}q(t)| \\ &= 1-t^m(1-t|q(t)|) < 1 \end{aligned}\] よって \[ F(c^{-1}t) = |a_0||1-t^m+t^{m+1}q(t)| < |a_0| = F(0)\] となって, $F$ が $z = 0$ で最小値をとることに反する.
 ゆえに, $f(x)$ は複素数の範囲に根をもつ.

高校数学の問題

数と式

問題《$2$ 次体の性質》

 $d$ を平方数でない正の整数とする. 次のことを示せ.
(1)
$\sqrt d$ は無理数である.
(2)
$a_1,$ $a_2,$ $b_1,$ $b_2$ を有理数とする. このとき, \[ a_1+a_2\sqrt d = b_1+b_2\sqrt d \Longrightarrow (a_1,a_2) = (b_1,b_2)\] が成り立つ.
(3)
$f(x),$ $g(x)$ を $g(\sqrt d) \neq 0$ なる有理数係数多項式とする. このとき, \[\frac{f(\sqrt d)}{g(\sqrt d)} = c_1+c_2\sqrt d\] なる有理数 $c_1,$ $c_2$ の組がただ $1$ 組存在する.

解答例

 こちらを参照.

問題《$2$ 次体のノルムと単数》

 有理数 $a_1,$ $a_2$ を用いて \[\alpha = a_1+a_2\sqrt 5\] の形に表される実数 $\alpha$ について, その全体の集合を $K$ とおき, \[\tilde\alpha = a_1-a_2\sqrt 5, \quad N(\alpha ) = \alpha\tilde\alpha = a_1{}^2-5a_2{}^2\] と定める. さらに, 偶奇が等しい整数 $a_1,$ $a_2$ を用いて \[\alpha = \dfrac{a_1+a_2\sqrt 5}{2}\] の形に表される実数 $\alpha$ 全体の集合を $O$ とおく.
(1)
$K$ の要素 $\alpha,$ $\beta$ に対して, \[ N(\alpha\beta ) = N(\alpha )N(\beta )\] が成り立つことを示せ.
(2)
$O$ の要素 $\alpha,$ $\beta$ に対して, $\alpha\beta$ もまた $O$ の要素であることを示せ.
(3)
$O$ の要素 $\alpha$ に対して, $N(\alpha )$ は整数であることを示せ.
(4)
$O$ の要素 $\varepsilon$ に対して, \[\varepsilon ^{-1} \in O \iff N(\varepsilon ) = \pm 1\] であることを示せ.
(5)
$\varepsilon _0,$ $\varepsilon _0{}^{-1} \in O,$ $\varepsilon _0 > 1$ を満たす最小の正の数は $\varepsilon _0 = \dfrac{1+\sqrt 5}{2}$ であることが知られている. $\varepsilon ^{-1} \in O$ を満たす $O$ の要素 $\varepsilon$ は, この $\varepsilon _0$ を用いて $\varepsilon = \pm\varepsilon _0{}^n$ ($n$: 整数) の形に表されることを示せ.

解答例

 こちらを参照.

複素数と方程式

問題《虚数単位の最小多項式》

 有理数係数多項式 $f(x)$ に対して, $f(i) = 0$ であるならば, $f(x)$ は $x^2+1$ で割り切れることを示せ. また, $x^2+1$ はこの条件を満たす次数最小の有理数係数多項式であることを示せ.
(参考: $2022$ 宮城教育大)

解答例

 こちらを参照.