後半, 前半の順に示す.

• 後半: $p(x)$ を体 $K$ 上の $n$ 次既約多項式とする. 通常の定義では, $K$ を部分環として含み, $\alpha$ を含む環 $\mathit\Omega$ が存在するときに初めて $K$ 上の多項式 $f(x)$ に $x = \alpha$ が代入できる. そこで, 形式的に, $K$ 上の多項式 $f(x) = a_mx^m+\cdots +a_1x+a_0$ に $x = \alpha$ を代入した値 $f(\alpha )$ を \[ f(\alpha ) = a_m\alpha ^m+\cdots +a_1\alpha +a_0 \quad \cdots [1]\] で定め, 特別な関係式 \[ p(\alpha ) = 0\] が成り立つとして, $[1]$ の形の式全体を $K(\alpha )$ で表すことにする. さらに, $K(\alpha )$ における加法, 乗法をそれぞれ \[ f(\alpha )+g(\alpha ) = (f+g)(\alpha ), \quad f(\alpha )g(\alpha ) = (fg)(\alpha )\] $(f(x),\ g(x) \in K[x])$ で定める. このとき, $K(\alpha )$ が $K$ の拡大体であることを示す.
  　$K(\alpha )$ が環であることは, $K(\alpha )$ の加法, 乗法の定義と $K[x]$ が環であることから容易に確認できる.
  　ここでは, $K(\alpha )$ の $0$ 以外の元が可逆であることを示す. $K(\alpha )$ の元 $f(\alpha )$ $(f(x) \in K[x]\setminus\{ 0\})$ をとる. $f(x)$ を $p(x)$ で割った商を $q(x),$ 余りを $r(x)$ とおくと \[ f(\alpha ) = p(\alpha )q(\alpha )+r(\alpha ) = r(\alpha ), \quad \deg r(x) \leqq n-1\] となるから, 必要に応じて $f(x)$ を $r(x)$ に取り替えることにより, $f(x)$ は $n-1$ 次以下であるとしてよく, 特に $n$ 次既約多項式 $p(x)$ と互いに素であるとしてよい. このとき, \[ f(x)u(x)+p(x)v(x) = 1\] を満たす $K$ 上の多項式 $u(x),$ $v(x)$ が存在する. $\alpha$ を代入すると \[ 1 = f(\alpha )u(\alpha )+p(\alpha )v(\alpha ) = f(\alpha )u(\alpha )\] となるから, $K(\alpha )$ において $f(\alpha )$ は乗法に関する逆元 $u(\alpha )$ をもつ. よって, $K(\alpha )$ は体である.
  　また, $K$ の元 $a$ に対して $f(x) = a$ とすると $a = f(\alpha ) \in K[\alpha ]$ となるから, $K(\alpha )$ は $K$ を含む.
  　これで, 代入 $[1],$ 関係式 $p(\alpha ) = 0$ の意味も正当化された.
  　さらに, $K$ の拡大体 $L$ が $p(x)$ の根 $\alpha$ を含むとすると, $L$ は \[ K(\alpha ) = \{ a_0+a_1\alpha +\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1} \mid a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_{n-1} \in K\}\] を含む.
  　よって, $K(\alpha )$ は $\alpha$ を含む $K$ の拡大体のうち包含関係に関して最小のものである. 以下, この $K$ の拡大体 $K(\alpha )$ を $K$ に $\alpha$ を添加した体と呼ぶことにする.
• 前半: $f(x)$ が $K$ 上の $1$ 次式の積に分解されるとき, $L = K$ とすればよい.
  　$f(x)$ が $K$ 上の $2$ 次以上の既約多項式 $p_1(x)$ で割り切れるとき, $p_1(x)$ の根となり得る元 $\alpha _1$ を $K$ に添加して $K_1 = K(\alpha _1)$ を定める. $f(x)$ を $x-\alpha _1$ で割り切れるだけ割った多項式が $K_1$ 上の $2$ 次以上の既約多項式 $p_2(x)$ で割り切れるとき, 同様に $p_2(x)$ の根となり得る元 $\alpha _2$ を $K_1$ に添加して $K_2 = K_1(\alpha _2)$ を定める. この操作を続けると, $f(x)$ を $x-\alpha _1,$ $\cdots,$ $x-\alpha _r$ で割り切れるだけ割った多項式は $1$ 次式の積または定数になり, $f(x)$ のすべての根は体 $K_r = K_{r-1}(\alpha _r)$ に含まれるようになる. この体を $L$ とすればよい.

　まず, $(\Longrightarrow )$ と等式 $[L:M][M:K] = [L:K]$ を示すため, $L/M$ が $m$ 次拡大, $M/K$ が $l$ 次拡大であるとし, $(\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon _m)$ を $L/M$ の基底, $(e_1,\cdots,e_l)$ を $M/K$ の基底とする. $\alpha \in L$ とする. このとき, $\alpha$ は $M$ の元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_m$ を用いて \[\alpha = a_1\varepsilon _1+\cdots +a_m\varepsilon _m \quad \cdots [1]\] と表される. さらに, $a_1,$ $\cdots,$ $a_m$ は, $K$ の元 $a_{11},$ $\cdots,$ $a_{l1},$ $\cdots,$ $a_{1m},$ $\cdots,$ $a_{lm}$ を用いて \[\begin{cases} a_1 = a_{11}e_1+\cdots +a_{l1}e_l, \\ \quad\ \ \vdots \\ a_m = a_{1m}e_1+\cdots +a_{lm}e_l \end{cases} \quad \cdots [2]\] と表される. よって, $\alpha$ は \[\begin{aligned} \alpha &= (a_{11}e_1+\cdots +a_{l1}e_l)\varepsilon _1+\cdots +(a_{1m}e_1+\cdots +a_{lm}e_l)\varepsilon _m \\ &= a_{11}e_1\varepsilon _1+\cdots +a_{l1}e_l\varepsilon _1+\cdots +a_{1m}e_1\varepsilon _m+\cdots +a_{lm}e_l\varepsilon _m \end{aligned}\] と表される. また, この式が $0$ であるとすると, $[1]$ と $\varepsilon _1,$ $\cdots,$ $\varepsilon _m$ が $M$ 上線形独立であることにより $a_1 = \cdots = a_m = 0$ となり, $[2]$ により \[ a_{11}e_1+\cdots +a_{l1}e_l = \cdots = a_{1m}e_1+\cdots +a_{lm}e_l = 0\] となるから, $e_1,$ $\cdots,$ $e_l$ が $K$ 上線形独立であることにより \[ a_{11} = \cdots = a_{l1} = \cdots = a_{1m} = \cdots = a_{lm} = 0\] となる. よって, $(e_1\varepsilon _1,\cdots,e_l\varepsilon _1,\cdots,e_1\varepsilon _m,\cdots,e_l\varepsilon _m)$ は $L/K$ の基底であるから, $L/K$ は $lm$ 次拡大である.
　次に, $(\Longleftarrow )$ を示すため, $L/K$ が $n$ 次拡大であるとし, $(\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon_n)$ を $L/K$ の基底とする.

• $L$ の任意の元 $\alpha$ は $K$ の元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ を用いて \[\alpha = a_1\varepsilon _1+\cdots +a_n\varepsilon _n \quad \cdots [3]\] と表される. $\varepsilon _{i_1},$ $\cdots,$ $\varepsilon _{i_m}$ を $\{\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon _n\}$ に含まれる $M$ 上線形独立な元のうち個数が最大のものとする. $i_1 = 1,$ $\cdots,$ $i_m = m$ としても一般性を失わない. 各番号 $i$ $(m+1 \leqq i \leqq n)$ に対して, $m+1$ 個の元 $\varepsilon _1,$ $\cdots,$ $\varepsilon _m,$ $\varepsilon _i$ は $M$ 上線形独立でないから, $M$ のある元 $a_{1i},$ $\cdots,$ $a_{mi},$ $b_i$ $(\beta _i \neq 0)$ に対して \[ a_{1i}\varepsilon _1+\cdots +a_{mi}\varepsilon _m+b_i\varepsilon _i = 0\] となり, $\varepsilon _i$ は \[\varepsilon _i = -\frac{a_{1i}}{b_i}\varepsilon _1-\cdots -\frac{a_{mi}}{b_i}\varepsilon _m \quad \cdots [4]\] と表される. $[4]$ を $[3]$ に代入して整理すると, \[\begin{aligned} \alpha &= \left( a_1-\frac{a_{m+1}a_{1(m+1)}}{b_{m+1}}-\cdots -\frac{a_na_{1n}}{b_n}\right)\varepsilon _1+\cdots \\ &\qquad +\left( a_m-\frac{a_{m+1}a_{m(m+1)}}{b_{m+1}}-\cdots -\frac{a_na_{mn}}{b_n}\right)\varepsilon _m \end{aligned}\] が得られる. よって, $(\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon _m)$ は $L/M$ の基底であるから, $L/M$ は有限次拡大である.
• $M$ の元 $\alpha$ は, $L$ の元でもあるから, $K$ の元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ を用いて \[\alpha = a_1\varepsilon _1+\cdots +a_n\varepsilon _n\] と表される. そこで, $M$ の各元 $\alpha$ に対し $a_i = 0$ を満たす番号 $i$ について $\varepsilon _i$ を $(\varepsilon _1,\cdots,\varepsilon _n)$ から除けば, $M/K$ の基底が得られる. よって, $M/K$ は有限次拡大である.

　因数定理により, 定数でない $\mathbb C$ 上の多項式 $f(x)$ が複素数の範囲に $1$ つでも根をもつことを示せば十分である.
　関数 \[ F:\mathbb C\to\mathbb R;z\mapsto |f(z)|\] について, $|z|$ が大きくなれば $|f(z)|$ も大きくなるから, ある実数 $r$ に対して $|z| > |w| = r$ ならば $F(z) > F(w)$ となる. さらに, $F$ は連続であるから, 最大値・最小値の原理により $F$ は縁付き円板 $|z| \leqq r$ において最小値をもつ. よって, $F$ は $\mathbb C$ 全体において最小値をもつ.
　$F$ が $z = \alpha$ で最小値をとるとして,

$F(\alpha) = 0$　つまり　$f(\alpha ) = 0$

であることを示す. $f(x)$ が $x = \alpha$ を根にもつことと $f(x+\alpha ) が$ $x = 0$ を根にもつことは同値であるから, $F$ が $z = 0$ で最小値をとるとしても一般性を失わない. その場合に $f(x)$ を

$f(x) = a_0+a_mx^m+($次数が $m$ より大きい項$)$

($a_0,$ $a_m \in \mathbb C,$ $a_m \neq 0,$ $m$: 正の整数)

と表し, $a_0 \neq 0$ であるとして矛盾を導く.
　$c$ を $-a_0{}^{-1}a_m$ の $m$ 乗根の $1$ つとして, $X = cx$ とおくと, $f(x)$ は \[ f(x) = a_0(1-X^m+X^{m+1}q(X)) \quad (q(X) \in \mathbb C[X])\] と表せる. $\lim\limits_{t \to 0}tq(t) = 0$ よって $\lim\limits_{t \to 0}t|q(t)| = 0$ であるから, $0 < t < 1$ の範囲に $t|q(t)| < 1$ を満たす実数 $t$ が存在する.
　実際, $\varepsilon = 1$ に対して $0 < |t| < \delta$ $\Longrightarrow$ $t|q(t)| < \varepsilon$ を満たす正の数 $\delta$ が存在するから, $0 < |t| < \delta$ と $|t| < 1$ の共通部分に属する実数 $t$ に対して $t|q(t)| < 1$ が成り立つ. このような $t$ を $1$ つとると, 必要ならば $t$ の符号を付け替えることにより, $0 < t < 1,$ $t|q(t)| < 1$ を満たす実数 $t$ が得られる.
　このような $t$ をとると, 三角不等式により \[\begin{aligned} |1-t^m+t^{m+1}q(t)| &\leqq |1-t^m|+|t^{m+1}q(t)| \\ &= 1-t^m(1-t|q(t)|) < 1 \end{aligned}\] よって \[ F(c^{-1}t) = |a_0||1-t^m+t^{m+1}q(t)| < |a_0| = F(0)\] となって, $F$ が $z = 0$ で最小値をとることに反する.
　ゆえに, $f(x)$ は複素数の範囲に根をもつ.

　こちらを参照.

　こちらを参照.

　こちらを参照.