三角関数
三角関数
問題《三角関数の超越性にまつわる問題》
$\sin x = f(x)$ を満たす実数係数の多項式関数(多項式で表される関数) $f(x)$ は存在しないことを示せ.
(参考: $1970$ 名古屋大)
解答例: $\sin x = 0$ の解に着目
- $\sin x = 0$ は無限個の実数解 $x = n\pi$ ($n$: 整数)をもつ.
- 一方, 因数定理により, 実数係数の $d$ 次方程式 $f(x) = 0$ は高々 $d$ 個の実数解しかもたない.
別解 1: $x \to \infty$ ときの極限に着目(関数と極限: 理系)
- $\sin x$ は $x \to \infty$ のとき振動する.
- 一方, 多項式関数 $f(x) = a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_0$ ($d > 0,$ $a_k$: 実数, $a_d \neq 0$) は, \[ f(x) = a_dx^d\left( 1+\frac{a_{d-1}}{a_d}\cdot\frac{1}{x}+\cdots +\frac{a_0}{a_d}\cdot\frac{1}{x^d}\right) \quad (x \neq 0)\] と表されるから, $x \to \infty$ のとき $\pm\infty$ に発散する(符号は $a_d$ の符号と同じ). また, 定数関数は $x \to \infty$ のとき収束する.
別解 2: 導関数に着目(微分法: 理系)
- \[\begin{aligned} (\sin x)' &= \cos x, & (\sin x)'' &= -\sin x, \\ (\sin x)''' &= -\cos x, & (\sin x)'''' &= \sin x \end{aligned}\] であるから, $\sin x$ の第 $n$ 次導関数は $(\sin x)^{(n)} = \sin\left( x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$ である.
- 一方, 実数係数の $d$ 次関数の第 $d+1$ 次導関数は $0$ である.
参考
- $A_nX^n+\cdots +A_1X+A_0 = 0$ ($A_k$: 実数係数多項式)の解として定義される関数を「代数関数」(algebraic function)と呼び, そうでない関数を「超越関数」(transcendental function)と呼ぶ. 三角関数 $\cos x,$ $\sin x,$ $\tan x,$ 指数関数 $a^x,$ 対数関数 $\log _ax$ $(a > 0,\ a \neq 1)$ は「超越関数」である.
- $\cos x,$ $\sin x$ は多項式を使って表せないが, 無限級数(関数と極限: 理系)を使って \[\cos x = \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}, \quad \sin x = \sum_{n = 0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\] と表されることが知られている. これを $\cos x,$ $\sin x$ の「マクローリン展開」(Maclaurin expansion)と呼ぶ.