集合

問題《ド・モルガンの法則》

　集合

U

の部分集合

X

に対して,

U

に関する

X

の補集合を

\bar X

で表す. このとき,

U

の部分集合

A,

B

に対して

\begin{aligned} \overline{A\cup B} &= \bar A\cap\bar B, \\ \overline{A\cap B} &= \bar A\cup\bar B \end{aligned}

が成り立つ.

証明

　命題論理におけるド・モルガンの法則

\begin{aligned} \overline{p\text{ または }q} &\iff \bar p\text{ かつ }\bar q, \\ \overline{p\text{ かつ }q} &\iff \bar p\text{ または }\bar q \end{aligned}

(

\bar s

は

s

の否定を表す) から従う.

問題《集合の包含関係の特徴付け》

U

を集合とし,

A,

B

をその部分集合とする.

(i): $A \subset B$ 　
(ii): $A\cup B = B$ 　
(iii): $A\cap B = A$

は同値であることを示せ.

基本定理

2022/10/19

2022/10/24

解答例 1

　(i)

\Longrightarrow

(ii) を示すため, (i) つまり

x \in A

\Longrightarrow

x \in B

を仮定する.

B \subset A\cup B

は無条件に成り立つから,

A\cup B \subset B

を示せばよいが, これは

$x \in A\cup B$	$\iff$ $x \in A$ または $x \in B$
	$\ \,\Longrightarrow\ \,$ $x \in B$ または $x \in B$
	$\iff$ $x \in B$

から従う.
　(ii)

\Longrightarrow

(i) を示すため, (ii) を仮定する. このとき,

A \subset A\cup B

かつ

A\cup B \subset B

から,

A \subset B

が成り立つ.
　よって, (i)

\iff

(ii) が成り立つ.
　(i)

\iff

(iii) は,

$A \subset B$	$\iff$ $\bar A \supset \bar B$
	$\iff$ $\bar A\cup\bar B = \bar A$ 　( $\because$ (i) $\iff$ (ii))
	$\iff$ $\overline{\bar A\cup\bar B} = \overline{\bar A}$
	$\iff$ $\overline{\bar A}\cap\overline{\bar B} = \overline{\bar A}$ 　( $\because$ ド・モルガンの法則)
	$\iff$ $A\cap B = A$

から従う.

解答例 2

　(i)

\Longrightarrow

(iii) を示すため, (i) つまり

x \in A

\Longrightarrow

x \in B

を仮定する.

A\cap B \subset A

は無条件に成り立つから,

A \subset A\cap B

を示せばよいが, これは

$x \in A$	$\iff$ $x \in A$ かつ $x \in A$
	$\ \,\Longrightarrow\ \,$ $x \in A$ かつ $x \in B$
	$\iff$ $x \in A\cap B$

から従う.
　(iii)

\Longrightarrow

(i) を示すため, (iii) を仮定する. このとき,

A \subset A\cap B

かつ

A\cap B \subset B

から,

A \subset B

が成り立つ.
　よって, (i)

\iff

(iii) が成り立つ.
　(i)

\iff

(ii) は,

$A \subset B$	$\iff$ $\bar A \supset \bar B$
	$\iff$ $\bar A\cap\bar B = \bar B$ 　( $\because$ (i) $\iff$ (iii))
	$\iff$ $\overline{\bar A\cap\bar B} = \overline{\bar B}$
	$\iff$ $\overline{\bar A}\cup\overline{\bar B} = \overline{\bar B}$ 　( $\because$ ド・モルガンの法則)
	$\iff$ $A\cup B = B$

から従う.

解答例 3

　解答例 1, 2 の前半のように, (i)

\iff

(ii), (i)

\iff

(iii) を別々に示す.

参考

U

を集合,

A_1,

\cdots,

A_n

をその部分集合とし,

A,

B,

C,

D

を

A_1,

\cdots,

A_n

と

\cup,

\cap

で表された集合とする.

$A$ の表示において $\cup,$ $\cap$ を互いに入れ替えて得られる集合を $A$ の「双対」(dual) と呼び, $A^*$ で表す. この $A^*$ は $A_1,$ $\cdots,$ $A_n$ をそれぞれ $\overline{A_1},$ $\cdots,$ $\overline{A_n}$ に置き換えて補集合をとった集合に等しいことが「第 $1$ 双対原理」(first duality principle) として知られている.
$A \subset B$ ならば $B^* \subset A^*$ の成り立つことが「第 $2$ 双対原理」(second duality principle) として知られている.
$A,$ $B$ の包含関係に関する命題 $p$ と $C,$ $D$ の包含関係に関する命題 $q$ に対して, $A,$ $B,$ $C,$ $D$ をその「双対」に置き換えて包含関係を逆にした命題をそれぞれ $p^*,$ $q^*$ で表すとき, $(p \Longrightarrow q)$ ならば $(q^* \Longrightarrow p^*)$ が成り立つ. これも一種の「双対原理」と呼べる.

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