対数関数
対数関数
定義《対数》
$a$ を $1$ と異なる正の数とする.
- (1)
- 正の数 $P$ に対して, $P = a^p$ を満たす実数 $p$ がただ $1$ つ存在する. この実数 $p$ を, $a$ を底とする $P$ の対数 (logarithm of $P$ to the base $a$) と呼び, $\log_aP$ で表す.
- (2)
- 正の数 $x$ を $\log_ax$ に対応させる関数を, $a$ を底とする対数関数 (logarithmic function) と呼ぶ.
定理《対数法則》
$1$ と異なる正の数 $a,$ 正の数 $P,$ $Q,$ 実数 $k$ に対して
- (1)
- $\log_aPQ = \log_aP+\log_aQ,$
- (2)
- $\log_a\dfrac{P}{Q} = \log_aP-\log_aQ,$
- (3)
- $\log_aP^k = k\log_aP$
証明
$p = \log_aP,$ $q = \log_aQ$ とおく.
- (1)
- 指数法則により \[ PQ = a^pa^q = a^{p+q}\] であるから, 両辺の対数をとると \[\log_aPQ = p+q = \log_aP+\log_aQ\] となる.
- (2)
- $\dfrac{1}{Q} = Q^{-1} = (a^q)^{-1} = a^{-q}$ から $\log_a\dfrac{1}{Q} = -\log_aQ$ であるので, (1) において $Q$ を $\dfrac{1}{Q}$ に置き換えることで得られる.
- (3)
- 指数法則により \[ P^k = (a^p)^k = a^{kp}\] であるから, 両辺の対数をとると \[\log_aP^k = kp = k\log_aP\] となる.
定理《底の変換公式》
$a,$ $b,$ $c$ が正の数で, $a,$ $c \neq 1$ のとき,
\[\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca}\]
が成り立つ.
証明
$p = \log_ab$ とおく.
$b = a^p$ であるから, 両辺の $c$ を底とする対数をとると
\[\log_cb = \log_ca^p = p\log_ca\]
となるから,
\[\log_ab = p = \frac{\log_cb}{\log_ca}\]
が得られる.
定理《対数関数の単調性》
$1$ と異なる正の数 $a$ に対して,
- $a > 1,$ $x_1 < x_2$ $\Longrightarrow$ $\log_ax_1 < \log_ax_2$
- $a < 1,$ $x_1 < x_2$ $\Longrightarrow$ $\log_ax_1 > \log_ax_2$
問題《対数関数の凸性に関する対数の比較》
$a > 1,$ $P > 0,$ $Q > 0$ のとき,
\[ A = \log_a(P+Q)-\log_a2, \quad G = \dfrac{1}{2}(\log_aP+\log_aQ)\]
の大小を比較せよ.
解答例
\[ A = \log_a\frac{P+Q}{2}, \quad G = \frac{1}{2}\log_aPQ = \log_a\sqrt{PQ}\]
であるから, 相加・相乗平均の不等式
\[\frac{P+Q}{2} \geqq \sqrt{PQ}\]
と $a > 1$ により
\[ A \geqq G\]
が成り立つ.
等号は $P = Q$ の場合に限り成り立つ.
参考
一般に, $\log_ax$ のグラフが上に凸であることから, $x_1,$ $\cdots,$ $x_n > 0,$ $t_1,$ $\cdots,$ $t_n > 0,$ $t_1+\cdots +t_n = 1$ のとき
\[\log_a(t_1x_1+\cdots +t_nx_n) \geqq t_1\log_ax_1+\cdots +t_n\log_ax_n\]
が成り立つことが知られている.
このタイプの不等式は, 「イェンゼンの不等式」(Jensen's inequality) と呼ばれる.
本問では, $n = 2,$ $t_1 = t_2 = \dfrac{1}{2}$ の場合にこの不等式が成り立つことを示した.
問題《底と真数が整数の対数が有理数になる条件》
$a,$ $b$ を $1$ より大きい整数とする.
次は同値であることを示せ.
- (i)
- $\log_ab$ は有理数である.
- (ii)
- 整数 $c,$ $m,$ $n$ ($c > 1;$ $m,$ $n$: 互いに素) について $a = c^n,$ $b = c^m$ となる.
(参考: $2005$ お茶の水女子大)
解答例
(i) $\Longrightarrow$ (ii): $\log_ab$ が有理数であるとする.
このとき, $\log_ab$ は互いに素な正の整数 $m,$ $n$ を用いて
\[\log_ab = \frac{m}{n}\]
と表され, $a^{\frac{m}{n}} = b$ つまり
\[ a^m = b^n \quad \cdots [1]\]
が成り立つ.
素因数分解の一意性により, $[1]$ の両辺は同じ素因数をもつから, 相異なる素数 $p_1,$ $\cdots,$ $p_r$ がそのすべてであるとする.
$a,$ $b$ は正の整数 $i_1,$ $\cdots,$ $i_r,$ $j_1,$ $\cdots,$ $j_r$ を用いて
\[\begin{aligned}
a &= p_1{}^{i_1}\cdots p_r{}^{i_r} \quad \cdots [2], \\
b &= p_1{}^{j_1}\cdots p_r{}^{j_r} \quad \cdots [3]
\end{aligned}\]
と表される.
これらを $[1]$ に代入すると
\[ p_1{}^{i_1m}\cdots p_r{}^{i_rm} = p_1{}^{j_1n}\cdots p_r{}^{j_rn}\]
となるから, 素因数分解の一意性により
\[ i_1m = j_1n, \quad \cdots, \quad i_rm = j_rn\]
が得られる.
$m,$ $n$ は互いに素であるから, ある正の整数 $k_1,$ $\cdots,$ $k_r$ に対して
\[\begin{aligned}
i_1 = k_1n, \quad &\cdots, \quad i_r = k_rn, \\
j_1 = k_1m, \quad &\cdots, \quad j_r = k_rm
\end{aligned}\]
が成り立つ.
これらを $[2],$ $[3]$ に代入すると, $c = p_1{}^{k_1}\cdots p_r{}^{k_r}$ として,
\[\begin{aligned}
a &= p_1{}^{k_1n}\cdots p_r{}^{k_rn} = (p_1{}^{k_1}\cdots p_r{}^{k_r})^n = c^n, \\
b &= p_1{}^{k_1m}\cdots p_r{}^{k_rm} = (p_1{}^{k_1}\cdots p_r{}^{k_r})^m = c^m
\end{aligned}\]
が得られる.
(ii) $\Longrightarrow$ (i): 整数 $c,$ $m,$ $n$ ($c > 1;$ $m,$ $n$: 互いに素) について $a = c^n,$ $b = c^m$ のとき, \[\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca} = \frac{\log_cc^m}{\log_cc^n} = \frac{m}{n}\] は有理数になる.
以上から, (i), (ii) は同値である.
(ii) $\Longrightarrow$ (i): 整数 $c,$ $m,$ $n$ ($c > 1;$ $m,$ $n$: 互いに素) について $a = c^n,$ $b = c^m$ のとき, \[\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca} = \frac{\log_cc^m}{\log_cc^n} = \frac{m}{n}\] は有理数になる.
以上から, (i), (ii) は同値である.
参考
対数の詳しい近似値は, ネイピア数 $e$ を底とする対数関数の「テイラー展開」
\[\log (1+x) = \sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n \quad (-1 < x \leqq 1),\]
対数法則, 底の変換公式を組み合わせることで求められる.
問題《ド・メレの $2$ つのさいころ》
$2$ つのさいころを $24$ 回ふって, $6$ のぞろ目が少なくとも $1$ 回出れば勝ちというゲームで勝つ確率は $\dfrac{1}{2}$ 未満であることを示せ.
\[\log_{10}2 < 0.30103,\ \log_{10}3 < 0.47713,\ \log_{10}7 > 0.84509\]
であることは証明なしに使ってよい.
解答例
$2$ つのさいころを $24$ 回ふるとき, $6$ のぞろ目が少なくとも $1$ 回出る確率は,
$6$ のぞろ目以外の目が $24$ 回続けて出るという事象の余事象の確率であり, $1-\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24}$ である.
よって,
$1-\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24} < \dfrac{1}{2},$ $\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24} > \dfrac{1}{2}$ つまり $2\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24} > 1$
を示せばよい.
これは,
\[\begin{aligned}
&\log_{10}2\left(\frac{35}{36}\right) ^{24} \\
&= \log_{10}2+24\log_{10}\frac{35}{36} \\
&= \log_{10}2+24\log_{10}\frac{5\cdot 7}{2^2\cdot 3^2} \\
&= \log_{10}2+24\log_{10}\frac{10\cdot 7}{2^3\cdot 3^2} \\
&= \log_{10}2+24\left( 1-3\log_{10}2-2\log_{10}3+\log_{10}7\right) \\
&= 24-71\log_{10}2-48\log_{10}3+24\log_{10}7 \\
&> 24-71\cdot 0.30103-48\cdot 0.47713+24\cdot 0.84509 \\
&= 0.00679 \\
&> 0
\end{aligned}\]
であることから従う.
ゆえに, ゲームで勝つ確率は $\dfrac{1}{2}$ 未満である.
参考
フランスの数学者パスカルは, 貴族のド・メレから,
ド・メレは誤って, $1$ つのさいころを $4$ 回ふったとき $6$ の目が出る確率は $1$ 回ふって $6$ の目が出る確率 $\dfrac{1}{6}$ の $4$ 倍の $4\cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$ で, $2$ つのさいころを $24$ 回ふったとき $6$ のぞろ目が出る確率は $1$ 回ふって $6$ のぞろ目が出る確率 $\dfrac{1}{36}$ の $24$ 倍の $24\cdot\dfrac{1}{36} = \dfrac{2}{3}$ であると考えた.
パスカルは, 出る確率から計算するのではなく, 出ない確率から計算するのだと指摘した. つまり, 前者のゲームで勝つ確率は $1-\left(\dfrac{5}{6}\right) ^4 = 0.51774\cdots > 0.5$ で, 後者のゲームで勝つ確率は $1-\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24} = 0.49140\cdots < 0.5$ である.
上記の質問は, 確率論の起源になった問題の $1$ つであり,「ド・メレの $2$ つのさいころ」として知られている.
- $1$ つのさいころを $4$ 回ふって $6$ の目が出れば勝ち
- $2$ つのさいころを $24$ 回ふって $6$ のぞろ目が出れば勝ち
ド・メレは誤って, $1$ つのさいころを $4$ 回ふったとき $6$ の目が出る確率は $1$ 回ふって $6$ の目が出る確率 $\dfrac{1}{6}$ の $4$ 倍の $4\cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$ で, $2$ つのさいころを $24$ 回ふったとき $6$ のぞろ目が出る確率は $1$ 回ふって $6$ のぞろ目が出る確率 $\dfrac{1}{36}$ の $24$ 倍の $24\cdot\dfrac{1}{36} = \dfrac{2}{3}$ であると考えた.
パスカルは, 出る確率から計算するのではなく, 出ない確率から計算するのだと指摘した. つまり, 前者のゲームで勝つ確率は $1-\left(\dfrac{5}{6}\right) ^4 = 0.51774\cdots > 0.5$ で, 後者のゲームで勝つ確率は $1-\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24} = 0.49140\cdots < 0.5$ である.
上記の質問は, 確率論の起源になった問題の $1$ つであり,「ド・メレの $2$ つのさいころ」として知られている.