有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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対数関数

対数関数

定義≪対数≫

 $a$ を $1$ と異なる正の数とする.
(1)
正の数 $P$ に対して, $P = a^p$ を満たす実数 $p$ がただ $1$ つ存在する. この実数 $p$ を, $a$ を底とする $P$ の対数(logarithm of $P$ to the base $a$)と呼び, $\log_aP$ で表す.
(2)
正の数 $x$ を $\log_ax$ に対応させる関数を, $a$ を底とする対数関数(logarithmic function)と呼ぶ.

定理≪対数法則≫

 $1$ と異なる正の数 $a,$ 正の数 $P,$ $Q,$ 実数 $k$ に対して
(1)
$\log_aPQ = \log_aP+\log_aQ,$ 
(2)
$\log_a\dfrac{P}{Q} = \log_aP-\log_aQ,$ 
(3)
$\log_aP^k = k\log_aP$ 
が成り立つ.

証明

 $p = \log_aP,$ $q = \log_aQ$ とおく.
(1)
指数法則により \[ PQ = a^pa^q = a^{p+q}\] であるから, 両辺の対数をとると \[\log_aPQ = p+q = \log_aP+\log_aQ\] となる.
(2)
$\dfrac{1}{Q} = Q^{-1} = (a^q)^{-1} = a^{-q}$ から $\log_a\dfrac{1}{Q} = -\log_aQ$ であるので, (1) において $Q$ を $\dfrac{1}{Q}$ に置き換えることで得られる.
(3)
指数法則により \[ P^k = (a^p)^k = a^{kp}\] であるから, 両辺の対数をとると \[\log_aP^k = kp = k\log_aP\] となる.

定理≪底の変換公式≫

 $a,$ $b,$ $c$ が正の数で, $a,$ $c \neq 1$ のとき, \[\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca}\] が成り立つ.

証明

 $p = \log_ab$ とおく. $b = a^p$ であるから, 両辺の $c$ を底とする対数をとると \[\log_cb = \log_ca^p = p\log_ca\] となるから, \[\log_ab = p = \frac{\log_cb}{\log_ca}\] が得られる.

定理≪対数関数の単調性≫

 $1$ と異なる正の数 $a$ に対して,
  • $a > 1,$ $x_1 < x_2$ $\Longrightarrow$ $\log_ax_1 < \log_ax_2$
  • $a < 1,$ $x_1 < x_2$ $\Longrightarrow$ $\log_ax_1 > \log_ax_2$
が成り立つ.

問題≪対数関数の凸性に関する対数の比較≫

 $a > 1,$ $P > 0,$ $Q > 0$ のとき, \[ A = \log_a(P+Q)-\log_a2, \quad G = \dfrac{1}{2}(\log_aP+\log_aQ)\] の大小を比較せよ.

解答例

\[ A = \log_a\frac{P+Q}{2}, \quad G = \frac{1}{2}\log_aPQ = \log_a\sqrt{PQ}\] であるから, 相加・相乗平均の不等式 \[\frac{P+Q}{2} \geqq \sqrt{PQ}\] と $a > 1$ により \[ A \geqq G\] が成り立つ. 等号は $P = Q$ のときに限り成り立つ.

背景

 一般に, $\log_ax$ のグラフが上に凸であることから, $x_1,$ $\cdots,$ $x_n > 0,$ $t_1,$ $\cdots,$ $t_n > 0,$ $t_1+\cdots +t_n = 1$ のとき \[\log_a(t_1x_1+\cdots +t_nx_n) \geqq t_1\log_ax_1+\cdots +t_n\log_ax_n\] が成り立つことが知られている. このタイプの不等式は, 「イェンゼンの不等式」(Jensen's inequality)と呼ばれる. 本問では, $n = 2,$ $t_1 = t_2 = \dfrac{1}{2}$ の場合にこの不等式が成り立つことを示した.

問題≪ド・メレの $2$ つのさいころ≫

 「$2$ つのさいころを $24$ 回ふって, $6$ のぞろ目が少なくとも $1$ 回出れば勝ち」というゲームで勝つ確率は $\dfrac{1}{2}$ 未満であることを示せ. \[\log_{10}2 < 0.30103,\ \log_{10}3 < 0.47713,\ \log_{10}7 > 0.84509\] であることは証明なしに使ってよい.

解答例

 $2$ つのさいころを $24$ 回ふるとき, $6$ のぞろ目が少なくとも $1$ 回出る確率は, $6$ のぞろ目以外の目が $24$ 回続けて出るという事象の余事象の確率であり, $1-\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24}$ である. よって,
$1-\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24} < \dfrac{1}{2},$ $\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24} > \dfrac{1}{2},$ つまり $2\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24} > 1$
を示せばよい. これは, \begin{align*} &\log_{10}2\left(\frac{35}{36}\right) ^{24} \\ &= \log_{10}2+24\log_{10}\frac{35}{36} \\ &= \log_{10}2+24\log_{10}\frac{5\cdot 7}{2^2\cdot 3^2} \\ &= \log_{10}2+24\log_{10}\frac{10\cdot 7}{2^3\cdot 3^2} \\ &= \log_{10}2+24\left( 1-3\log_{10}2-2\log_{10}3+\log_{10}7\right) \\ &= 24-71\log_{10}2-48\log_{10}3+24\log_{10}7 \\ &> 24-71\cdot 0.30103-48\cdot 0.47713+24\cdot 0.84509 \\ &= 0.00679 \\ &> 0 \end{align*} であることから従う.

背景

 フランスの数学者パスカルは, 貴族のド・メレから,
  • $1$ つのさいころを $4$ 回ふって $6$ の目が出れば勝ち
  • $2$ つのさいころを $24$ 回ふって $6$ のぞろ目が出れば勝ち
という $2$ つのゲームについて, 前者のゲームではよく勝てたが, 後者のゲームではよく負けたのはなぜかという質問を受け取った.
 ド・メレは誤って, $1$ つのさいころを $4$ 回ふったとき $6$ の目が出る確率は $1$ 回ふって $6$ の目が出る確率 $\dfrac{1}{6}$ の $4$ 倍の $4\cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$ で, $2$ つのさいころを $24$ 回ふったとき $6$ のぞろ目が出る確率は $1$ 回ふって $6$ のぞろ目が出る確率 $\dfrac{1}{36}$ の $24$ 倍の $24\cdot\dfrac{1}{36} = \dfrac{2}{3}$ であると考えていた.
 パスカルは,「出る確率から計算するのではなく, 出ない確率から計算するのだ」と指摘した. つまり, 前者のゲームで勝つ確率は $1-\left(\dfrac{5}{6}\right) ^4 = 0.5177\cdots > 0.5$ で, 後者のゲームで勝つ確率は $1-\left(\dfrac{35}{36}\right) ^{24} = 0.4914\cdots < 0.5$ である.
 上記の質問は, 確率論の起源となった問題の $1$ つであり,「ド・メレの $2$ つのさいころ」として知られている.