有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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定義《群》

(1)
集合 $G$ に対して, $G\times G$ から $G$ への写像を $G$ 上の二項演算 (binary operation) と呼ぶ.
(2)
空でない集合 $G$ と $G$ 上の二項演算 \[\mu: G\times G\to G;(a,b)\mapsto ab\] が次を満たすとき, $G$ は二項演算 $\mu$ に関して (group) をなすといい, 対 $(G,\mu )$ を群と呼ぶ.
(G1)
結合法則 (associative law): $a,$ $b,$ $c \in G$ ならば, $(ab)c = a(bc)$ が成り立つ.
(G2)
単位元の存在: ある $e \in G$ について, すべての $a \in G$ に対して $ea = ae = a$ が成り立つ.
(G3)
逆元の存在: $a \in G$ ならば, ある $a' \in G$ について $aa' = a'a = e$ が成り立つ.
本稿では断りのない限り, 群 $(G,\mu )$ を単に群 $G$ と呼ぶ.
(3)
群 $G$ がさらに次の条件を満たすとき, $G$ を可換群 (commutative group) またはアーベル群 (abelian group) と呼ぶ.
(G4)
交換法則 (commutative law): $a,$ $b \in G$ ならば, $ab = ba$ が成り立つ ($a,$ $b$ は可換であるという).
(4)
二項演算が $a+b$ のように加法記号を用いて書かれる可換群を加法群 (additive group) と呼び, 二項演算が $a\times b,$ $a\cdot b,$ $ab$ のように乗法的に書かれる群を乗法群 (multiplicative group) と呼ぶ.

例《群》

(0)
$1$ 元からなる集合 $\{ e\}$ は $ee = e$ という二項演算に関して群をなす. これを単位群 (trivial group) と呼ぶ.
(1)
$i$ を虚数単位とすると, $1$ の $4$ 乗根全体の集合 $\{ \pm 1,\ \pm i\}$ は複素数の乗法に関して群をなす.
(2)
整数全体の集合 $\mathbb Z$ は通常の加法に関して群をなす.
(3)
集合 $X$ の全単射全体の集合は写像の合成に関して群をなす. これを $X$ の置換群 (permutation group) と呼ぶ. 特に, $n$ 個の元からなる集合 $X$ の置換群を $n$ 次対称群 (symmetric group of degree $n$) と呼び, $\mathfrak S_n$ で表す.

命題《一般結合法則》

 $n$ を $3$ 以上の整数とする. 群 $G$ の $n$ 個の元 $a_1,$ $\cdots,$ $a_n$ に対して, $a_1\cdots a_n$ を \[ (a_1\cdots a_{k-1})a_k = a_1\cdots a_k \quad (3 \leqq k \leqq n)\] により定める. このとき, \[ (a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_n) = a_1\cdots a_n \quad (1 \leqq r \leqq n-1)\] が成り立つ.

証明

 $n$ に関する数学的帰納法で示す.
(i)
$n = 3$ のとき. 結合法則と $a_1a_2a_3$ の定義により, \[ a_1(a_2a_3) = (a_1a_2)a_3 = a_1a_2a_3\] が成り立つ.
(ii)
$n$ を $4$ 以上の整数とし, \[\begin{aligned} (a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_{n-1}) = a_1\cdots a_{n-1}\ (1 \leqq r \leqq n-2) \\ \cdots [1] \end{aligned}\] が成り立つとする. このとき, $1 \leqq r \leqq n-2$ なる整数 $r$ に対して, \[\begin{aligned} &(a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_n) \\ &= (a_1\cdots a_r)((a_{r+1}\cdots a_{n-1})a_n) \\ &= ((a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_{n-1}))a_n \quad (\because\text{(G1)} ) \\ &= (a_1\cdots a_{n-1})a_n \quad (\because [1]) \\ &= a_1\cdots a_n \end{aligned}\] が成り立つ. $a_1\cdots a_n$ の定義により, これは $r = n-1$ のときも成り立つ.
(i), (ii) から, $3$ 以上のすべての整数 $n$ に対して等式が成り立つ.

命題《単位元, 逆元の一意性》

 $G$ を群とする.
(G2) において, $e \in G$ はただ $1$ つに定まる.
(G3) において, 各 $a \in G$ に対して, $a'$ はただ $1$ つに定まる.

証明

 $e,$ $e' \in G$ がすべての $a \in G$ に対して $ea = ae = a,$ $e'a = ae' = a$ を満たすとき, \[ e = ee' = e'\] となる. また, $a,$ $a',$ $a'' \in G$ が $aa' = a'a = e,$ $aa'' = a''a = e$ を満たすとき, \[ a' = a'e = a'(aa'') = (a'a)a'' = ea'' = a''\] となる.

定義《群の単位元・逆元》

 $G$ を群とする.
(1)
(G2) を満たす $e$ を $G$ の単位元 (unity), (G3) を満たす $a'$ を $a$ の逆元 (inverse) と呼ぶ.
(2)
加法群 $G$ において, 単位元を $0$ で, $a \in G$ の逆元を $-a$ です. 乗法群 $G$ において, 単位元を $1$ で, $a \in G$ の逆元を $a^{-1}$ で表す.

元の位数

 以下の一般論では, 群を乗法群として考え, その単位元を $e$ で表す.

命題《元の位数》

 $a$ を群 $G$ の元とする. $a^i = e$ を満たす正の整数 $i$ が存在するとき, その最小値を $a$ の位数 (order) と呼ぶ.

命題《元の位数の性質》

 $a$ を群 $G$ の, 位数 $n$ の元とする.
(1)
各整数 $m$ に対して,
$a^m = e$ $\iff$ $m$ は $n$ で割り切れる
が成り立つ.
(2)
$a^{-1}$ の位数は $n$ である.
(3)
$d$ を $n$ の正の約数とする. このとき, $a^d$ の位数は $\dfrac{n}{d}$ である.

証明

(1)
$(\Longrightarrow )$: $a^m = e$ であるとし, $m$ を $n$ で割った商を $q,$ 余りを $r$ とおく. このとき, \[ e = a^m = a^{nq+r} = a^{nq}a^r = (a^n)^qa^r = e^qa^r = a^r\] となるから, 位数の最小性により $r = 0$ となる. よって, $m$ は $n$ で割り切れる.
$(\Longleftarrow )$: $m$ が $n$ で割り切れるとき, \[ a^m = a^{n\cdot\frac{m}{n}} = (a^n)^{\frac{m}{n}} = e^{\frac{m}{n}} = e\] となる.
(2)
各整数 $m$ に対して
$(a^{-1})^m = e$$\iff$ $a^{-m} = e$
$\iff$ $-m$ は $n$ で割り切れる
$\iff$ $m$ は $n$ で割り切れる
が成り立つから, $a^{-1}$ の位数は $n$ である.
(3)
各整数 $m$ に対して
$(a^d)^m = e$$\iff$ $a^{dm} = e$
$\iff$ $dm$ は $n$ で割り切れる
$\iff$ $m$ は $\dfrac{n}{d}$ で割り切れる
が成り立つから, $a^d$ の位数は $\dfrac{n}{d}$ である.

部分群

定義《部分群》

 $H$ を群 $G$ の空でない部分集合とする. $H$ が $G$ の二項演算に関して群をなすとき, $H$ を $G$ の部分群 (subgroup) と呼ぶ.

命題《部分群の判定法》

 群 $G$ の部分集合 $H$ が $G$ の部分群であるためには, $e \in H$ と \[ a,\ b \in H \Longrightarrow ab,\ a^{-1} \in H\] の成り立つことが必要十分である.

証明

 結合法則 (G1) は, $G$ の任意の元に対する条件であるから, $H$ の任意の元に対しても成り立つ. よって, $G$ における二項演算から $H$ の二項演算が定まるという \[ a,\ b \in H \Longrightarrow ab \in H\] と, 単位元の存在 (G2), 逆元の存在 (G3) が成り立つときに限り, $H$ は $G$ の部分群になる.

例《部分群》

 偶数全体の集合 $2\mathbb Z$ は $\mathbb Z$ の部分群をなす.

高校数学の問題

複素数平面

問題《複素数からなる乗法で閉じた集合》

 $n$ 個の $0$ でない複素数からなる集合 $G$ で
$z,$ $w \in G$ $\Longrightarrow$ $zw \in G$ $\cdots$(G0)
を満たすものを決定せよ.
(参考: $2001$ 京都府立医大)

解答例

 こちらを参照.

関数と極限

問題《$n$ 文字の置換の性質》

 $1$ 以上 $n$ 以下の整数全体 $A$ を定義域とする関数 $f(x)$ の値域が $A$ と一致するとする. $k$ 個の $f(x)$ を合成して得られる関数を $f^k(x)$ で表すとき, $f^k(1)\ (1 \leqq k \leqq n)$ が互いに異なるとする.
(1)
関数として $f^n(x) = x$ が成り立つことを示せ.
(2)
$f(x)$ の逆関数を, $f^k(x)$ $(1 \leqq k \leqq n)$ の形に表せ.

解答例

 こちらを参照.