$n$ に関する数学的帰納法で示す.

(i)

$n = 3$ のとき. 結合法則と $a_1a_2a_3$ の定義により, \[ a_1(a_2a_3) = (a_1a_2)a_3 = a_1a_2a_3\] が成り立つ.

(ii)

$n$ を $4$ 以上の整数とし, \[\begin{aligned} (a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_{n-1}) = a_1\cdots a_{n-1}\ (1 \leqq r \leqq n-2) \\ \cdots [1] \end{aligned}\] が成り立つとする. このとき, $1 \leqq r \leqq n-2$ なる整数 $r$ に対して, \[\begin{aligned} &(a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_n) \\ &= (a_1\cdots a_r)((a_{r+1}\cdots a_{n-1})a_n) \\ &= ((a_1\cdots a_r)(a_{r+1}\cdots a_{n-1}))a_n \quad (\because\text{(G1)} ) \\ &= (a_1\cdots a_{n-1})a_n \quad (\because [1]) \\ &= a_1\cdots a_n \end{aligned}\] が成り立つ. $a_1\cdots a_n$ の定義により, これは $r = n-1$ のときも成り立つ.

(i), (ii) から, $3$ 以上のすべての整数 $n$ に対して等式が成り立つ.

　$e,$ $e' \in G$ がすべての $a \in G$ に対して $ea = ae = a,$ $e'a = ae' = a$ を満たすとき, \[ e = ee' = e'\] となる. また, $a,$ $a',$ $a'' \in G$ が $aa' = a'a = e,$ $aa'' = a''a = e$ を満たすとき, \[ a' = a'e = a'(aa'') = (a'a)a'' = ea'' = a''\] となる.

(1)

• $a$ の位数が $n$ であるとし, $m$ を整数とする.
  $(\Longrightarrow )$: $a^m = e$ であるとし, $m$ を $n$ で割った商を $q,$ 余りを $r$ とおく. このとき, \[ e = a^m = a^{nq+r} = a^{nq}a^r = (a^n)^qa^r = e^qa^r = a^r\] となるから, 位数の最小性により $r = 0$ となる. よって, $m$ は $n$ で割り切れる.
  $(\Longleftarrow )$: $m$ が $n$ で割り切れるとき, \[ a^m = a^{n\cdot\frac{m}{n}} = (a^n)^{\frac{m}{n}} = e^{\frac{m}{n}} = e\] となる.
• 各整数 $m$ に対して $(\iff )$ が成り立つとき, $n$ は $a^i = e$ を満たす最小の正の整数であるから, $n$ は $a$ の位数である.

(2)

• 各整数 $m$ に対して

  $(a^{-1})^m = e$	$\iff$ $a^{-m} = e$
  	$\iff$ $-m$ は $n$ で割り切れる
  	$\iff$ $m$ は $n$ で割り切れる

  が成り立つから, $a^{-1}$ の位数は $n$ である.
• 各整数 $m$ に対して

  $(a^d)^m = e$	$\iff$ $a^{dm} = e$
  	$\iff$ $dm$ は $n$ で割り切れる
  	$\iff$ $m$ は $\dfrac{n}{d}$ で割り切れる

  が成り立つから, $a^d$ の位数は $\dfrac{n}{d}$ である.

(3)

$ab$ の位数を $l$ とおく.

• $mn$ が $l$ で割り切れることが, \[ (ab)^{mn} = a^{mn}b^{mn} = (a^m)^n(b^n)^m = e^ne^m = e\] から従う.
• $l$ が $mn$ で割り切れることを示す. \[\begin{aligned} (ab)^{ln} &= ((ab)^l)^n = e^n = e, \\ (ab)^{ln} &= a^{ln}b^{ln} = a^{ln}(b^{n})^l = a^{ln}e^l = a^{ln} \end{aligned}\] から $a^{ln} = e$ であるので, $ln$ は $m$ で割り切れ, よって $l$ は $m$ で割り切れる. 同様に, $l$ は $n$ で割り切れる. したがって, $l$ は $mn$ で割り切れる.

ゆえに, $l = mn$ である.

　結合法則 (G1) は, $G$ の任意の元に対する条件であるから, $H$ の任意の元に対しても成り立つ. よって, $G$ における二項演算から $H$ の二項演算が定まるという \[ a,\ b \in H \Longrightarrow ab \in H\] と, 単位元の存在 (G2), 逆元の存在 (G3) が成り立つときに限り, $H$ は $G$ の部分群になる.

　$H = \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \mathit\Lambda}H_\lambda$ とおく.

• 各部分群 $H_\lambda$ $(\lambda \in \mathit\Lambda )$ は $G$ の単位元を含むから, $H$ もそれを含む.
• $a,b \in H$ のとき, 各部分群 $H_\lambda$ $(\lambda \in \mathit\Lambda )$ は

  $a,$ $b \in H_\lambda$　よって　$ab,\ a^{-1} \in H_\lambda$

  を満たすから, $ab,$ $a^{-1} \in H$ である.

以上から, $H$ は $G$ の部分群である.

(1)

左側剰余類について示す. $a_1H\cap a_2H \neq \varnothing$ のとき, $H$ の $2$ つの元 $h_1,$ $h_2$ に対して $a_1h_1 = a_2h_2$ となり, $H$ の各元 $h$ に対して \[\begin{aligned} a_1h &= a_2h_2h_1{}^{-1}h \in a_2H, \\ a_2h &= a_1h_1h_2{}^{-1}h \in a_1H \end{aligned}\] となるから, $a_1H = a_2H$ となる. ゆえに, $G$ は互いに共通部分をもたない左側剰余類に分けられる.

(2)

定義から直ちに従う.

　$G$ が有限群であるという仮定から, $G$ は互いに共通部分をもたない有限個の左側剰余類の和集合として \[ G = a_1H\cup\cdots\cup a_lH \quad (a_1,\cdots,a_l \in G,\ a_1 = e)\] と表される. さらに, $H$ から $aH$ への写像 \[ h \mapsto ah\] は, $aH$ の定義により全射である. また, $ah = ah'$ $(h,h' \in H)$ であるとすると, $h = a^{-1}ah = a^{-1}ah' = h'$ となるから, これは単射である. よって, $\#\;\!(a_1H) = \cdots = \#\;\!(a_lH) = \#\;\!H$ であるから, \[\#\;\!G = \#\;\!(a_1H)+\cdots +\#\;\!(a_lH) = l\,\#\;\!H\] が成り立つ. 同様に右側剰余類の個数 $r$ についても $\#\;\!G = r\,\#\;\!H$ が成り立つから, $l = r$ であり, $\#\;\!G = (G:H)\,\#\;\!H$ が得られる.
　また, $a$ を $G$ の位数 $n$ の元として $H = \langle a\rangle = \{ e,a,\cdots,a^{n-1}\}$ とすると, $n$ は $H$ の位数になるから $\#\;\!G$ の約数であることが分かる.

　(N) $\Longrightarrow$ (N)' を示すため, (N) を仮定する. $s \in G,$ $a \in N$ とすると, $sa \in sN = Ns$ から $N$ のある元 $a'$ に対して $sa = a's$ となるので, $sas^{-1} = a' \in N$ が得られる. よって, (N)' が成り立つ.
　(N)' $\Longrightarrow$ (N) を示すため, (N)' を仮定する. $s \in G$ とする. $N$ の各元 $a$ に対して, $sas^{-1} \in N$ から, $N$ のある元 $a'$ に対して $sas^{-1} = a'$ となるので, $sa = a's \in Ns$ が得られる. よって, $sN \subset Ns$ が成り立つ. 同様に $Ns \subset sN$ も示せるから, $sN = Ns$ が成り立つ. よって, (N) が成り立つ.
　これで, (N) $\iff$ (N)' が示された.

　$(aN)(bN) = abN$ $(a,b \in G)$ という演算は $aN,$ $bN$ の代表 $a,$ $b$ の取り方によらないことに注意する. 実際, $aN = a'N,$ $bN = b'N$ $(a',b' \in G)$ のとき, $N$ が正規部分群であることから \[ bb'^{-1} \in N, \quad a(bb'^{-1})a'^{-1} \in N\] となるので, \[ ab(a'b')^{-1} = a(bb'^{-1})a'^{-1} \in N\] から $abN = a'b'N$ が得られる.

(G1)

$G/N$ の各元 $aN,$ $bN,$ $cN$ $(a,b,c \in G)$ に対して \[\begin{aligned} &((aN)(bN))(cN) = (abN)(cN) = (ab)cN \\ &= a(bc)N = (aN)(bcN) = (aN)((bN)(cN)) \end{aligned}\] が成り立つ.

(G2)

$N = eN$ は $G/N$ の各元 $aN$ $(a \in G)$ に対して \[ (eN)(aN) = eaN = aN = aeN = (aN)(eN)\] を満たす.

(G3)

$G/N$ の各元 $aN$ $(a \in G)$ に対して $a^{-1}N$ は \[ (aN)(a^{-1}N) = aa^{-1}N = eN = a^{-1}aN = (a^{-1}N)(aN)\] を満たす.

(G1)～(G3) から, $G/N$ は群をなす.

(1)

単位元の性質により \[\varphi (e)\varphi (e) = \varphi (ee) = \varphi (e)\] が成り立つから, 両辺に $\varphi (e)$ の逆元を施すと $\varphi (e) = e$ が得られる.

(2)

逆元の性質により \[ e = \varphi (e) = \varphi (aa^{-1}) = \varphi (a)\varphi (a^{-1})\] が成り立ち, これは $\varphi (a^{-1}) = \varphi (a)^{-1}$ であることを意味する.

　$G$ の各元 $a,$ $b$ に対して \[\begin{aligned} (\psi\circ\varphi )(ab) &= \psi (\varphi (ab)) = \psi (\varphi (a)\varphi (b)) \\ &= \psi (\varphi (a))\psi (\varphi (b)) = (\psi\circ\varphi )(a)(\psi\circ\varphi )(b) \end{aligned}\] が成り立つから, $\psi\circ\varphi$ は群の準同型である.

(1)

$\varphi (e) = e$ から $e \in \varphi ^{-1}(H'),$ よって $\varphi ^{-1}(H') \neq \varnothing$ である. また, $a,$ $b \in \varphi ^{-1}(H')$ つまり $\varphi (a),$ $\varphi (b) \in H'$ とすると, \[\begin{aligned} \varphi (ab) = \varphi (a)\varphi (b) &\in H', \\ \varphi (a^{-1}) = \varphi (a)^{-1} &\in H' \end{aligned}\] から, $ab,$ $a^{-1} \in \varphi ^{-1}(H')$ となる. よって, $\varphi ^{-1}(H')$ は $G$ の部分群である.

(1)'

$N'$ が $G'$ の正規部分群であるとき, $a \in G$ とし, $n \in \varphi ^{-1}(N')$ つまり $\varphi (n) \in N'$ とすると \[\varphi (ana^{-1}) = \varphi (a)\varphi (n)\varphi (a)^{-1} \in N'\] から $ana^{-1} \in \varphi ^{-1}(N')$ となるので, $\varphi ^{-1}(N')$ は $G$ の正規部分群である.

(2)

$H \neq \varnothing$ から $\varphi (H) \neq \varnothing$ である. また, $\varphi (H)$ の元 $a',$ $b'$ は $H$ の元 $a,$ $b$ を用いて $a' = \varphi (a),$ $b' = \varphi (b)$ と表され, よって $a'b',$ $a'^{-1}$ も $H$ の元 $ab,$ $a^{-1}$ を用いて \[\begin{aligned} a'b' &= \varphi (a)\varphi (b) = \varphi (ab), \\ a'^{-1} &= \varphi (a)^{-1} = \varphi (a^{-1}) \end{aligned}\] と表されるから, $a'b',$ $a'^{-1} \in \varphi (H)$ となる. よって, $\varphi (H)$ は $G'$ の部分群である.

(2)'

$\varphi$ が全射で $N$ が $G$ の正規部分群であるとき, $a' \in G',$ $n' \in \varphi (N)$ とすると, これらの元は $a' = \varphi (a),$ $n' = \varphi (n)$ $(a \in G,$ $n \in N)$ と表せて, $ana^{-1} \in N$ から \[ a'n'a'^{-1} = \varphi (a)\varphi (n)\varphi (a)^{-1} = \varphi (ana^{-1}) \in \varphi (N)\] となるので, $\varphi (N)$ は $G'$ の正規部分群である.

　$N = \mathrm{Ker}\,(\varphi )$ とおく. $G/N$ の元 $aN,$ $bN$ $(a,\ b \in G)$ に対して \[\begin{aligned} aN = bN &\iff ab^{-1} \in N \\ &\iff \varphi (ab^{-1}) = e \\ &\iff \varphi (a)\varphi (b)^{-1} = e \\ &\iff \varphi (a) = \varphi (b) \\ &\iff \bar\varphi (aN) = \bar\varphi (bN) \end{aligned}\] が成り立つから, $aN$ の値 $\bar\varphi (aN) = \varphi (a)$ は $aN$ の代表 $a$ のとり方によらず定まることに注意する.
　$G/N$ の元 $aN,$ $bN$ $(a,\ b \in G)$ に対して \[\begin{aligned} \bar\varphi ((aN)(bN)) &= \bar\varphi (abN) \\ &= \varphi (ab) \\ &= \varphi (a)\varphi (b) \\ &= \bar\varphi (aN)\bar\varphi (bN) \end{aligned}\] が成り立つから, $\bar\varphi$ は群の準同型である.
　$G/N$ の元 $aN$ $(a \in G)$ に対して \[\begin{aligned} \bar\varphi (aN) = e &\iff \varphi (a) = e \\ &\iff a \in N \\ &\iff aN = N \end{aligned}\] が成り立つから, $\bar\varphi$ は単射である.
　$\mathrm{Im}\,(\varphi )$ の各元 $a'$ は $G$ のある元 $a$ を用いて \[ a' = \varphi (a) = \bar\varphi (aN)\] と表されるから, $\bar\varphi$ は全射である.
　以上により, $\bar\varphi$ は群の同型である.

　$e = ee \in HN$ から $HN \neq \varnothing$ であり, $N$ が $H$ の正規部分群であることから $HN$ の元 $hn,$ $h'n'$ $(h,\ h' \in H,\ n,\ n' \in N)$ に対して \[\begin{aligned} (hn)(h'n') &= hnh'n = hh'nn' = (hh')(nn'), \\ (hn)^{-1} &= n^{-1}h^{-1} = n^{-1}h^{-1}nn^{-1} = n^{-1}nh^{-1}n^{-1} = h^{-1}n^{-1} \end{aligned}\] も $HN$ の元になるから, $HN$ は $G$ の部分群である.
　$N = \{ en \mid n \in N\}$ は, $HN$ に含まれ, $HN$ と同じ演算で群をなすから, $HN$ の部分群である. さらに, $N$ が $G$ の正規部分群であることから $G$ の元, 特に $HN$ の元 $a$ と, $N$ の元 $n$ に対して $ana^{-1} \in N$ が成り立つから, $N$ は $HN$ の正規部分群である.
　$\varphi$ は明らかに群の準同型である.
　また, $HN/N$ の元 $hnN$ $(h \in H,\ n \in N)$ に対して $hnN = hN$ が成り立つから, $\varphi$ は全射である.
　$H$ の元 $h$ に対して \[\begin{aligned} h \in \mathrm{Ker}\,(\varphi ) &\iff \varphi (h) = N \\ &\iff hN = N \\ &\iff h \in N \end{aligned}\] が成り立つから, $\mathrm{Ker}\,(\varphi ) = H\cap N$ である.
　よって, 第 $1$ 同型定理により, $\varphi$ から同型 $\bar\varphi$ が誘導される.

　前半の主張を示す. $G/N$ の元 $aN,$ $bN$ $(a,\ b \in G)$ に対して \[\begin{aligned} aN = bN &\iff ab^{-1} \in N \\ &\ \,\Longrightarrow\ \, ab^{-1} \in M \\ &\iff aM = bM \end{aligned}\] が成り立つから, $aN$ の像 $\varphi (aN) = aM$ は $aN$ の代表 $a$ のとり方によらず定まることに注意する. また, \[\begin{aligned} \varphi ((aN)(bN)) &= \varphi (abN) \\ &= abM \\ &= (aM)(bM) \\ &= \varphi (aN)\varphi (bN) \end{aligned}\] が成り立つから, $\varphi$ は群の準同型である.
　$\varphi$ は明らかに全射である.
　さらに, $\mathrm{Ker}\,(\varphi ) = M/N$ であるから, $M/N$ は $G/N$ の正規部分群である.
　よって, 第 $1$ 同型定理により $\varphi$ から同型 $\bar\varphi$ が誘導される.
　後半の主張は, 標準的な全射準同型 $\pi :G\to G/N$ による $G/N$ の正規部分群 $M'$ の逆像 $M = \pi ^{-1}(M')$ は $G$ の正規部分群であり, \[ M/N = \pi (M) = \pi (\pi ^{-1}(M')) = M'\] であることから従う.

(1)

$G$ の演算は成分ごとの演算で定義されるので, 群 $G_i$ $(i \in I)$ の演算で (G1)～(G3) が成り立つことから $G$ の演算でも (G1)～(G3) が成り立つことが確認できる.

(2)

$a = (a_i),$ $b = (b_i) \in H$ とする. このとき, $I$ の有限部分集合 $I',$ $I''$ に対して $a_i = e_i$ $(i \in I\setminus I'),$ $b_i = e_i$ $(i \in I\setminus I'')$ となるので, \[ a_ib_i = e_ie_i = e_i, \quad a_i ^{-1} = e_i{}^{-1} = e_i \quad (i \in I\setminus I'\cup I'')\] から \[ab = (a_ib_i), \quad a^{-1} = (a_i{}^{-1}) \in H\] となる. よって, $H$ は $G$ の部分群である.

　$(a_i),$ $(b_i) \in \prod_{i \in I}H_i$ ならば, \[ a_ib_i,\ a_i{}^{-1} \in H_i \quad (i \in I)\] から \[ (a_i)(b_i) = (a_ib_i),\ (a_i)^{-1} = (a_i{}^{-1}) \in \prod_{i \in I}H_i\] となる. よって, $\prod_{i \in I}H_i$ は $\prod_{i \in I}G_i$ の部分群である.
　$\bigoplus_{i \in I}H_i$ が $\bigoplus_{i \in I}G_i$ の部分群であることも, 同様に示される.

　位数 $n$ の巡回群 $G$ が元 $a$ で生成されるとする. 写像 \[\begin{array}{crcl} \varphi :\!\!\!\!\! & \mathbb Z & \!\!\!\to\!\!\! & G \\ {} & i & \!\!\!\mapsto\!\!\! & a^i \end{array}\] は, 指数法則 \[\varphi (i+j) = a^{i+j} = a^ia^j = \varphi (i)\varphi (j)\] により群の準同型である. \[\begin{aligned} \mathrm{Ker}\,(\varphi ) &= n\mathbb Z \\ &\qquad (\because a^i = e \iff i \in n\mathbb Z), \\ \mathrm{Img}\,(\varphi ) &= \{ e,a,\cdots,a^{n-1}\} = G \\ &\qquad (\because a^{nq+r} = a^r,\ 0 \leqq r \leqq n-1) \end{aligned}\] であるから, 第 $1$ 同型定理により \[\mathbb Z/n\mathbb Z \cong G\] が得られる.

　$G$ が元 $a$ で生成されるとする.

(1)

$a^i \in H$ を満たす正の整数 $i$ が存在するから, その最小値を $n$ とおき, $H = \langle a^n\rangle$ を示す.
　各整数 $q$ に対して $(a^n)^q \in H$ であるから, $\langle a^n\rangle \subset H$ が成り立つ.
　$H \subset \langle a^n\rangle$ を示すため, $a^m$ $(m \in \mathbb Z)$ を $H$ の元とする. $m$ を $n$ で割った商を $q,$ 余りを $r$ とおく. つまり, $m = nq+r,$ $0 \leqq r < n$ とする. このとき, \[ a^r = a^{m-nq} = a^ma^{-nq} = a^m(a^n)^{-q} \in H\] となるから, $n$ の最小性により $r = 0$ である. よって, $m = nq$ から, $a^m = a^{nq} = (a^n)^q \in \langle a^n\rangle$ が成り立つ. よって, $H \subset \langle a^n\rangle$ が成り立つ.
　ゆえに, $H = \langle a^n\rangle$ が成り立つから, $H$ は巡回群である.

(2)

$G/N$ の元は $a^iN$ $(i \in \mathbb Z)$ の形に表されるから, $G/N$ は巡回群である.

　群 $G$ の位数が素数 $p$ であるとし, $a$ を $G$ の単位元 $e$ 以外の元とする. このとき, ラグランジュの定理により $a$ の位数は $G$ の位数 $p$ の約数になるが, $p$ は素数であるから, $a$ の位数は $1$ または $p$ である. しかし, $a \neq e$ であるから, $a$ の位数は $p$ にならざるをえない. よって, $G = \{ e,a,\cdots,a^{p-1}\} = \langle a\rangle$ であるから, $G$ は巡回群である.

　$a$ を $G = \mathbb F_p{}^\times$ の位数 $l$ の元とし, $H = \langle a\rangle$ とおく. このとき, $a^i$ $(0 \leqq i \leqq l-1)$ は, \[ (a^i)^l = (a^l)^i = 1^i = 1\] から $x^l-1 = 0$ の解であるが, $l$ 次方程式の解は高々 $l$ 個しかないから, \[ H = \{ 1,a,\cdots,a^{l-1}\} = \{ g \in G \mid g^l = 1\} \quad \cdots [1]\] が成り立つ.
　$l < p-1$ である, つまり $H$ に含まれない $G$ の元 $b$ があるとするして, 位数が $l$ より大きい $G$ の元 $c$ がとれることを示す. 実際, これを示すため, $b$ の位数を $m$ とおく. $[1]$ から, $l,$ $m$ の最小公倍数 $n$ は $l$ より大きい. そこで, 位数が $n$ の元 $c$ を作る. 整数 $x\,(\neq 0)$ の素因数分解における素数 $q$ の指数を $\mathrm{ord}_q(x)$ で表すとき, $\mathrm{ord}_q(n)$ は $\mathrm{ord}_q(l),$ $\mathrm{ord}_q(m)$ の大きい方の値で, \[ c_q = \begin{cases} a^{l/q^{\mathrm{ord}_q(l)}} & (\mathrm{ord}_q(l) \geqq \mathrm{ord}_q(m)) \\ b^{m/q^{\mathrm{ord}_q(m)}} & (\mathrm{ord}_q(l) < \mathrm{ord}_q(m)) \end{cases}\] の位数は $q^{\mathrm{ord}_q(n)}$ になる. よって, 位数 $n$ の元 $c$ が

$c = c_2c_3\cdots c_q\cdots$　($l,$ $m$ のすべての素因数 $q$ にわたる $c_q$ の積)

としてとれる.
　よって, $G$ の元の位数の最大値は $p-1$ に他ならず, その元を $a$ とすると, $G = \{ 1,a,\cdots,a^{p-2}\}$ となる.

　$G$ の単位元 $e$ は $ae = ea = a$ を満たす. よって, $e \in N(a)$ であるから, $N(a) \neq \varnothing$ である. $z,$ $w \in N(a)$ とすると, \[\begin{aligned} a(zw) &= (az)w = (za)w = z(aw) = z(wa) = (zw)a, \\ az^{-1} &= (z^{-1}z)(az^{-1}) = z^{-1}(za)z^{-1} \\ &= z^{-1}(az)z^{-1} = (z^{-1}a)(zz^{-1}) = z^{-1}a \end{aligned}\] から $zw,$ $z^{-1} \in N(a)$ となる. よって, $N(a)$ は $G$ の部分群である.

　$Z(G)$ は, 正規化群 $N(a)$ $(a \in G)$ を用いて \[ Z(G) = \bigcap _{a \in G}N(a)\] と表されるから, $G$ の部分群である.
　また, $a \in G,$ $z \in Z(G)$ とすると, $az = za$ から $aza^{-1} = z$ となるので, $aza^{-1} \in Z(G)$ となる. よって, $Z(G)$ は $G$ の正規部分群である.
　さらに, $z,$ $w \in Z(G)$ に対して $zw = wz$ が成り立つから, $Z(G)$ は可換群である.

(1)

$sas^{-1} = tat^{-1}$ $(s,\ t \in G)$ であるとすると, \[ a(s^{-1}t) = (s^{-1}t)a\] となるから, $s^{-1}t \in N(a)$ つまり $sN(a) = tN(a)$ となる. よって, $sas^{-1}$ $(s \in G)$ の形の元のうち異なるものの個数は, $N(a)$ を法とする剰余類の個数, つまり $(G:N(a))$ に等しい.

(2)

$G$ を共役類に分けると, $G$ の元 $a$ の共役類に属する元の個数は $(G:N(a))$ に等しい. $z \in Z(G)$ のとき, $G$ の各元 $s$ に対して

$sz = zs$　つまり　$szs^{-1} = z$

が成り立つから, $z$ の共役類は $z$ のみからなり, $(G:N(z)) = 1$ である. $Z(G)$ が $m$ 個の元 $z_1,$ $\cdots,$ $z_m$ からなり, $Z(G)$ に属さない元のすべての共役類が $a_1,$ $\cdots,$ $a_r$ で重複なく代表されるとすると, \[\begin{aligned} \#\;\!G &= (G:N(z_1))+\cdots +(G:N(z_m)) \\ &\qquad +(G:N(a_1))+\cdots +(G:N(a_r)) \\ &= m+(G:N(a_1))+\cdots +(G:N(a_r)) \\ &= \#\;\!Z(G)+(G:N(a_1))+\cdots +(G:N(a_r)) \end{aligned}\] が得られる.

　$G$ の位数に関する数学的帰納法で示す.

(I)

$\#\;\!G = p$ のとき. $G$ は位数 $p$ の巡回群であるから, その生成元の位数は $p$ である.

(II)

位数が $\#\;\!G$ 未満の任意の群に対して, 定理の主張が成り立つとする.

(i)

$G$ が可換群の場合. $\#\;\!G > 1$ により, $G$ から単位元でない元 $a$ がとれる. $N = \langle a\rangle,$ $\#\;\!N = l$ とおく.

(a)

$\#\;\!N$ が $p$ で割り切れるとき. $a^{\frac{l}{p}}$ の位数は $p$ である.

(b)

$\#\;\!N$ が $p$ で割り切れないとき. ラグランジュの定理の結果 \[\#\;\!G = (G:N)\,\#\;\!N\] により $(G:N) = \#\;\!(G/N)$ は $p$ で割り切れるから, 仮定により $G/N$ は位数 $p$ の元 $bN$ $(b \in G)$ をもつ. $b$ の位数を $m$ とおくと, $G/N$ において \[ (bN)^m = b^mN = eN = N\] となるから, 位数の最小性により $m$ は $p$ で割り切れる. よって, $b^{\frac{m}{p}}$ の位数は $p$ である.

(ii)

$G$ が可換群でない場合. $G$ の中心を $N$ とおく. 位数が素数の群は巡回群, よって可換群であるから, $\#\;\!G > p$ である.
　$\#\;\!N$ が $p$ で割り切れないとき, 類等式 \[\#\;\!G = \#\;\!N+(G:N(a_1))+\cdots +(G:N(a_{r-1}))\] において $\#\;\!G$ は $p$ で割り切れ, よってある番号 $i$ に対して $(G:N(a_i))$ は $p$ で割り切れないから, ラグランジュの定理の結果 \[\#\;\!G = (G:N(a_i))\#\;\!N(a_i)\] により $\#\;\!N(a_i)$ は $p$ で割り切れる.
　したがって, $\#\;\!N$ が $p$ で割り切れる場合も含めて, すべての場合に $G$ は位数が $p$ で割り切れる非自明な部分群 $H$ をもつ. $\#\;\!H < \#\;\!G$ と数学的帰納法の仮定により $H$ は位数 $p$ の元をもつから, $G$ は位数 $p$ の元をもつ.

以上により, 求める主張が成り立つ.

　$G$ が可解群であるとして, $G$ の可解列 \[ \{ e\} = N_r \subset \cdots \subset N_1 \subset N_0 = G\] をとる.

(1)

$H$ を $G$ の部分群とする. このとき, 部分群の列 \[\{ e\} = H\cap N_r \subset \cdots \subset H\cap N_1 \subset H\cap N_0 = H\] ができる. $a \in H\cap N_{i-1},$ $n \in H\cap N_i$ とすると, $N_i$ が $N_{i-1}$ の正規部分群であることにより $ana^{-1} \in H\cap N_i$ となるから, $H\cap N_i$ は $H\cap N_{i-1}$ の正規部分群である. 第 $2$ 同型定理により \[\begin{aligned} (H\cap N_{i-1})/(H\cap N_i) &= (H\cap N_{i-1})/((H\cap N_{i-1})\cap N_i) \\ &\cong (H\cap N_{i-1})N_i/N_i \end{aligned}\] が成り立つ. 右辺の群は, 巡回群 $N_{i-1}/N_i$ の部分群であるから, 巡回群である. よって, それと同型な $(H\cap N_{i-1})/(H\cap N_i)$ も巡回群である. ゆえに, $H$ は可解群である.

(2)

$N$ を $G$ の正規部分群とし, \[\begin{array}{crcl} \pi :\!\!\!\!\! & G & \!\!\!\to\!\!\! & G/N \\ {} & a & \!\!\!\mapsto\!\!\! & aN \end{array}\] を標準的な全射準同型とする. このとき, 正規部分群の列 \[\{ e\} = \pi (N_r) \subset \cdots \subset \pi (N_1) \subset \pi (N_0) = G/N\] ができる. 写像 \[\begin{array}{crcl} \varphi _i:\!\!\!\!\! & N_{i-1}/N_i & \!\!\!\to\!\!\! & \pi (N_{i-1})/\pi (N_i) \\ {} & aN_i & \!\!\!\mapsto\!\!\! & \pi (a)\pi (N_i) \end{array}\] を考える. $N_{i-1}/N_i$ の元 $aN_i,$ $bN_i$ $(a,\ b \in N_{i-1})$ に対して \[\begin{aligned} aN_i = bN_i &\iff ab^{-1} \in N_i \\ &\ \,\Longrightarrow\,\ \pi (ab^{-1}) \in \pi (N_i) \\ &\iff \pi (a)\pi (b)^{-1} \in \pi (N_i) \\ &\iff \pi (a)\pi (N_i) = \pi (b)\pi (N_i) \end{aligned}\] であるから, $aN_i$ の値 $\varphi _i(aN_i) = \pi (a)\pi (N_i)$ は $aN_i$ の代表 $a$ のとり方によらず定まることに注意する. さらに, $N_{i-1}/N_i$ の元 $aN_i,$ $bN_i$ $(a,\ b \in N_{i-1})$ に対して \[\begin{aligned} \varphi _i((aN_i)(bN_i)) &= \varphi _i(abN_i) \\ &= \pi (ab)\pi (N_i) \\ &= \pi (a)\pi (b)\pi (N_i) \\ &= (\pi (a)\pi (N_i))(\pi (b)\pi (N_i)) \\ &= \varphi _i(aN_i)\varphi _i(bN_i) \end{aligned}\] が成り立つから, $\varphi _i$ は群の準同型である. 定義により $\varphi _i$ は全射であるから, 第 $1$ 同型定理により, \[ (N_{i-1}/N_i)/\mathrm{Ker}\,(\varphi _i) \cong \pi (N_{i-1})/\pi (N_i)\] が成り立つ. 左辺の群は, 巡回群 $N_{i-1}/N_i$ の剰余群であるから, 巡回群である. よって, それと同型な $\pi (N_{i-1})/\pi (N_i)$ も巡回群である. ゆえに, $G/N$ は可解群である.

　こちらを参照.

　こちらを参照.