有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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円に内接する凸多角形

三角形

定理《ヘロンの公式》

 $\triangle\mathrm{ABC}$ において, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB},$ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ とおく. このとき, \[\triangle\mathrm{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] が成り立つ.

証明

 こちらを参照.

四角形

定理《円に内接する四角形の特徴付け》

 すべての四角形 $Q$ に対して,
$Q$ は円に内接 $\iff$ $Q$ の向かい合う内角の和は $180^\circ$
が成り立つ.

定理《ブラーマグプタの公式》

 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において, $a = \mathrm{AB},$ $b = \mathrm{BC},$ $c = \mathrm{CD},$ $d = \mathrm{DA},$ $s = \dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおく. このとき, 四角形の面積 $S$ は \[ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\] と表される.

証明

 こちらを参照.

問題

数学 I: 図形と計量

問題《ヘロンの公式》

 $\triangle\mathrm{ABC}$ において, $a = \mathrm{BC},$ $b = \mathrm{CA},$ $c = \mathrm{AB},$ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ とおく. このとき, \[\triangle\mathrm{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] が成り立つことを示せ.

解答例

 こちらを参照.

問題《ブラーマグプタの公式》

 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ において, $a = \mathrm{AB},$ $b = \mathrm{BC},$ $c = \mathrm{CD},$ $d = \mathrm{DA},$ $s = \dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおく. このとき, 四角形の面積 $S$ は \[ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\] と表されることを示せ.

解答例

 こちらを参照.