タイル張り

定義と興味深い例

定義

　正方形 $4$ 枚を組み合わせてできる次のような L 字型のタイル $1$ 枚の上に, 各辺の長さが半分で同じ形のタイル $4$ 枚を敷き詰めるにはどうすれば良いか.

答え:

このようなタイルは平面に隙間なく敷き詰めることができる. 上記の操作を無限に繰り返すと, フラクタル図形ができる(現実の世界では描けない). $3$ 回目まで繰り返して一番小さいタイルに交互に色を塗ると次のようになる.

このフラクタル図形を上記のパズルの要領で同じ L 字型に敷き詰めたものは, $1$ 枚のフラクタル図形と相似になる.

定義《タイリング》

　平面に隙間なく敷き詰めることができるタイルは平面充填可能(tesselatable)であるという.

定義《レプタイル》

　自身と等倍率で相似な $n$ 枚のタイルを使ってタイル張りできるタイルを $n$ レプタイル($n$-reptile)と呼ぶ. ただし, $n \geqq 2$ とする. これは自己複製タイル(replicating tile)の略語として, 爬虫類を意味する英語 reptile に語呂合わせして名付けられた.

定理《レプタイルの性質》

(1): 任意の正整数 $e$ に対して, $n$ レプタイルは $n^e$ レプタイルである.
(2): 任意のレプタイルはこのようなタイルは平面充填可能である.
(3): レプタイルを用いてフラクタル図形を構成できる.

レプタイルの種類

【三角形のレプタイル】

(a): 直角二等辺三角形(三角定規の一方)は $2$ レプタイル.
(b): 辺長の比が $1:\sqrt 3:2$ の直角三角形(三角定規の他方)は $3$ レプタイル.
(c): 任意の三角形は $4$ レプタイル. 任意の整数 $m \geqq 2$ に対して $1+\dots +(2m-1) = m^2$ レプタイルでもある.
(d): 辺長の比が $1:2:\sqrt 5$ の直角三角形は $5$ レプタイル.

【四角形のレプタイル】

(e): 辺長の比が $1:\sqrt n$ の長方形は $n$ レプタイル. 特に A 判の紙はすべて $2$ レプタイル.
(f): 任意の平行四辺形(特に正方形やひし形)は $4$ レプタイル.
(g): 正三角形 $3$ 個の辺を貼り合わせてできる等脚台形は $4$ レプタイル. $9$ レプタイルでもある.
(h): 上記の等脚台形を $2$ 等分してできる直角台形は $4$ レプタイル.
(i): 正方形と直角二等辺三角形の辺を貼り合わせてできる直角台形は $4$ レプタイル.

　レプタイルはこの他にもたくさんある. 機会があれば紹介したい.