導多項式
導多項式
以下, $K$ を有理数全体, 実数全体, または複素数全体の集合とし, $K$ の要素を係数とする多項式を $K$ 上の多項式と呼ぶ.
定義《導多項式》
$f(x) = \displaystyle\sum_{k = 0}^na_kx^k$ を $K$ 上の多項式とする.
- (1)
- 多項式 $\displaystyle\sum_{k = 1}^nka_kx^{k-1}$ を $f(x)$ の導多項式 (derivative) と呼び, $\{ f(x)\}',$ $f'(x)$ または $\dfrac{d}{dx}f(x)$ で表す.
- (2)
- $f^{(0)}(x) = f(x)$ と $f^{(m+1)}(x) = \{ f^{(m)}(x)\}',$ $\dfrac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}f(x) = \dfrac{d}{dx}\left\{\dfrac{d^m}{dx^m}f(x)\right\}$ で $f(x)$ の $m$ 階導多項式 $f^{(m)}(x),$ $\dfrac{d^m}{dx^m}f(x)$ を順次定める.
定理《和・差・積の導多項式》
$K$ 上の多項式 $f(x),$ $g(x)$ と定数 $a \in K$ に対して,
\[\begin{aligned}
\{ f(x)\pm g(x)\}' &= f'(x)\pm g'(x) \quad (\text{複号同順}), \\
\{ f(x)g(x)\}' &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x), \\
\{ af(x)\}' &= af'(x)
\end{aligned}\]
が成り立つ.
定理《多項式の合成の導多項式》
$K$ 上の多項式 $f(x),$ $g(x)$ と定数 $a,$ $b \in K$ に対して,
\[\begin{aligned}
\{ f(g(x))\}' &= f'(g(x))g'(x), \\
\{ f(ax+b)\}' &= af'(ax+b)
\end{aligned}\]
が成り立つ.
定理《多項式の重根判定法》
$m$ を正の整数とし, $\alpha \in K$ であるとする.
このとき, $K$ 上の多項式 $f(x)$ が $(x-\alpha )^m$ で割り切れるための必要十分条件は,
\[ f(\alpha ) = \cdots = f^{(m-1)}(\alpha ) = 0\]
である.
高校数学の問題
微分法 (理系)
問題《多項式の重根判定法》
$f(x)$ を実数係数多項式, $\alpha$ を実数とする.
- (1)
- $\alpha,$ $f(\alpha ),$ $f'(\alpha )$ を用いて $f(x)$ を $(x-\alpha )^2$ で割った余りを表せ.
- (2)
- $f(x)$ が $(x-\alpha )^2$ で割り切れるための必要十分条件は, $f(\alpha ) = f'(\alpha ) = 0$ であることを示せ.
解答例
こちらを参照.