$H = [0,1]^n$ の場合を考えれば十分である. このとき, 辺の長さが $\dfrac{k_1}{m},$ $\cdots,$ $\dfrac{k_n}{m}$ の小超直方体は $(m-k_1+1)\cdots (m-k_n+1)$ 個ある. 小超直方体の体積の総和(のべ体積)は \[\begin{aligned} &\sum_{k_1 = 1}^m\cdots\sum_{k_n = 1}^m(m-k_1+1)\cdots (m-k_n+1)\frac{k_1}{m}\cdots\frac{k_n}{m} \\ &= \frac{1}{m^n}\left\{\sum_{k = 1}^m(m-k+1)k\right\} ^n = \frac{1}{m^n}\left\{\frac{1}{6}m(m+1)(m+2)\right\} ^n \end{aligned}\] であり, 小超直方体の総数は \[\begin{aligned} &\sum_{k_1 = 1}^m\cdots\sum_{k_n = 1}^m(m-k_1+1)\cdots (m-k_n+1) \\ &= \sum_{k_1 = 1}^m\cdots\sum_{k_n = 1}^mk_1\cdots k_n = \left(\sum_{k = 1}^mk\right) ^n = \left\{\frac{1}{2}m(m+1)\right\} ^n \end{aligned}\] であるから, \[ q_n(m) = \frac{\dfrac{1}{m^n}\left\{\dfrac{1}{6}m(m+1)(m+2)\right\} ^n}{\left\{\dfrac{1}{2}m(m+1)\right\} ^n} = \frac{(m+2)^n}{3^nm^n}\] である. よって, \[ q_n = \lim\limits_{m \to \infty}\frac{1}{3^n}\left( 1+\dfrac{2}{m}\right) ^n = \frac{1}{3^n}\] である.

　$H = [0,1]^n$ の場合を考えれば十分である. このとき, $1$ 辺の長さが $\dfrac{k}{m}$ の小超立方体は $(m-k+1)^n$ 個ある. 小超立方体の体積の総和(のべ体積)は \[\sum_{k = 1}^m(m-k+1)^n\left(\frac{k}{m}\right)^n\] であり, 小超立方体の総数は \[\sum_{k = 1}^m(m-k+1)^n = \sum_{k = 1}^mk^n\] であるから, \[ r_n(m) = \frac{\displaystyle\sum_{k = 1}^m(m-k+1)^nk^n}{\displaystyle m^n\sum_{k = 1}^mk^n}\] である. 分母, 分子はともに $m$ の $2n+1$ 次式であるから, それぞれの最高次の係数に注目すると, \[ r_n = \frac{\displaystyle\sum_{k = 0}^n\frac{(-1)^k}{n+1+k}\binom{n}{k}}{\dfrac{1}{n+1}} = (n+1)\sum_{k = 0}^n\dfrac{(-1)^k}{n+1+k}\binom{n}{k}\] であることがわかる. ここで, \[ x^n(1+x)^n = \sum_{k = 0}^n\binom{n}{k}x^{n+k}\] の両辺を $-1$ から $0$ まで積分して得られる等式 \[\int_{-1}^0x^n(1+x)^ndx = \sum_{k = 0}^n\binom{n}{k}\int_{-1}^0x^{n+k}dx\] において, \[\begin{aligned} \int_{-1}^0x^n(1+x)^ndx &= \int_1^0(-t)^n(1-t)^n(-1)dt \\ &= (-1)^n\int_0^1t^n(1-t)^ndt \\ &= (-1)^nB(n+1,n+1) \\ &= (-1)^n\frac{n!n!}{(2n+1)!} \\ &= \frac{(-1)^n}{\displaystyle (n+1)\binom{2n+1}{n}}, \\ \sum_{k = 0}^n\binom{n}{k}\int_{-1}^0x^{n+k}dx &= \sum_{k = 0}^n\binom{n}{k}\left[\frac{x^{n+1+k}}{n+1+k}\right] _{-1}^0 \\ &= (-1)^n\sum_{k = 0}^n\frac{(-1)^k}{n+1+k}\binom{n}{k} \end{aligned}\] ($B(x,y)$ はベータ関数)であるから, \[ r_n = \frac{1}{\displaystyle \binom{2n+1}{n}}\] である.

\[\binom{2n+1}{n} = \frac{2n+1}{n+1}\binom{2n}{n}, \quad \lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{2n+1}{n+1}} = 1\] であるから, 公式 \[\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\binom{2n}{n}} = 4\] により, \[\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\binom{2n+1}{n}} = 4\] である. ゆえに, \[\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{r_n} = \frac{1}{4}\] である.