有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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定義《環, 可換環, 整域》

(1)
空集合でない集合 $R$ と $R$ 上の二項演算 \[\begin{aligned} +:R\times R\to R&;(a,b)\mapsto a+b, \\ \cdot\,:R\times R\to R&;(a,b)\mapsto a\cdot b \end{aligned}\] が次を満たすとき, $R$ は加法 $+,$ 乗法 $\cdot$ に関して(英: ring, 仏: anneau)をなすといい, $3$ つ組 $(R,+,\cdot )$ を環と呼ぶ.
(R1)
加法に関する結合法則(associative law): $a,b,c \in R$ ならば, $(a+b)+c = a+(b+c)$ が成り立つ.
(R2)
加法に関する単位元の存在: ある $0 \in R$ について, すべての $a \in R$ に対して $0+a = a+0 = a$ が成り立つ.
(R3)
加法に関する逆元の存在: $a \in R$ ならば, ある $-a \in R$ について $a+(-a) = (-a)+a = 0$ が成り立つ.
(R4)
加法に関する交換法則(commutative law): $a,b \in R$ ならば, $a+b = b+a$ が成り立つ.
(R5)
乗法に関する結合法則(associative law): $a,b,c \in R$ ならば, $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$ が成り立つ.
(R6)
分配法則(distributive law): $a,b,c \in R$ ならば, $a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c,$ $(a+b)\cdot c = a\cdot c+b\cdot c$ が成り立つ.
本稿では断りのない限り, 環 $(R,+,\cdot )$ を単に環 $R$ と呼ぶ.
(2)
次の条件を満たす環 $R$ は単位的(unitary)であるという.
(R7)
乗法に関する単位元の存在: ある $1 \in R$ について, すべての $a \in R$ に対して $1\cdot a = a\cdot 1 = a$ が成り立つ.
(3)
次の条件を満たす環 $R$ を可換環(commutative ring)と呼ぶ.
(R8)
乗法に関する交換法則(commutative law): $a,b \in R$ ならば, $a\cdot b = b\cdot a$ が成り立つ.
可換環でない環を非可換環(non-commutative ring)と呼ぶ.
(4)
次の条件を満たす単位的可換環 $R$ を整域(domain)と呼ぶ.
(R9)
簡約法則(cancellation law): $a,$ $b \in R$ ならば, $ab = 0$ $\Longrightarrow$「$a = 0$ または $b = 0$」が成り立つ.
(5)
$a,$ $b \in R$ に対して, $a+b$ を $a$ に $b$ を加えた, $a\cdot b$ を $a$ に $b$ を掛けたと呼ぶ. 積 $a\cdot b$ は $ab$ で表すことも多い. また, $a+(-b)$ を $a-b$ で表し, $a$ から $b$ を引いたと呼ぶ. 二項演算 \[ -:R\times R\to R;(a,b)\mapsto a-b\] を $R$ の減法と呼ぶ.
(6)
以下, $a,$ $b,$ $c \in R$ に対して, $(a+b)+c = a+(b+c),$ $(ab)c = a(bc)$ はかっこを外して $a+b+c,$ $abc$ と表してもよいとする. また, 正の整数 $n$ に対して, $n$ 個の $a$ の積を $a^n$ で表すことにする.

例《環, 可換環, 整域》

(0)
$1$ 元からなる集合 $\{ 0\}$ は $0+0 = 0,$ $0\cdot 0 = 0$ という二項演算に関して環をなす. これを零環(zero ring)と呼ぶ.
(1)
整数全体の集合 $\mathbb Z$ は通常の加法, 乗法に関して整域をなす. これを整数環(ring of integers)と呼ぶ.
(2)
$n$ 行 $n$ 列の複素行列全体の集合は行列の加法, 乗法に関して環をなす. $n \geqq 2$ のとき, この環は非可換環である.

命題《単位元, 逆元の一意性》

 $R$ を環とする.
(1)
(R2) において, $0 \in R$ はただ $1$ つに定まる.
(R3) において, 各 $a \in R$ に対して $-a$ はただ $1$ つに定まる.
(R7) において, $1 \in R$ はただ $1$ つに定まる.
(2)
$a \in R$ とする. ある $a^{-1} \in R$ について $a\cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = 1$ が成り立つとき, $a^{-1}$ はただ $1$ つに定まる.

証明

 群の単位元・逆元の一意性(こちらを参照)と同様である.

定義《環の単位元, 逆元》

 $R$ を環とする.
(1)
(R2) を満たす $0$ を $R$ の加法に関する単位元(unity), (R3) を満たす $-a$ を $a$ の加法に関する逆元(inverse), (R7) を満たす $1$ を $R$ の乗法に関する単位元(unity)と呼ぶ.
(2)
上記の命題の(2)の条件を満たす $a \in R$ は可逆(invertible)であるといい, $a^{-1}$ を $a$ の乗法に関する逆元(inverse)と呼ぶ.

命題《環の演算の性質》

 $R$ を環とする. $a \in R$ ならば,
(1)
$0\cdot a = a\cdot 0 = 0$ 
(2)
$(-1)\cdot a = -a$ 
が成り立つ.

証明

(1)
(R6), (R2) により, \[ 0\cdot a+0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a\] が成り立つ. 両辺に $0\cdot a$ の加法に関する逆元を加えると, (R1), (R3) により \[\begin{aligned} (0\cdot a+0\cdot a)+(-0\cdot a) &= 0\cdot a+(-0\cdot a) \\ 0\cdot a+(0\cdot a+(-0\cdot a)) &= 0 \\ 0\cdot a &= 0 \end{aligned}\] が得られる.
(2)
(R7), (R6), (R3), (1) により, \[\begin{aligned} a+(-1)\cdot a &= 1\cdot a+(-1)\cdot a = (1+(-1))\cdot a \\ &= 0\cdot a = 0 \end{aligned}\] が成り立つ. (R4) により, $(-1)\cdot a+a = 0$ も成り立つ. よって, $(-1)\cdot a$ は加法に関する $a$ の逆元であるから, その一意性により $(-1)\cdot a = -a$ である.

定義《体》

 複数個または無限個の元からなり, $0$ でないすべての元が可逆である単位的可換環を(field)と呼ぶ.

例《体》

 有理数体全体の集合, 実数全体の集合, 複素数全体の集合は, 通常の加法, 乗法に関して体をなす. これらの体をそれぞれ, 有理数体, 実数体, 複素数体と呼び, $\mathbb Q,$ $\mathbb R,$ $\mathbb C$ で表す.

命題《体における簡約法則》

 すべての体は整域である.

証明

 体 $K$ の元 $a,$ $b$ に対して $a\cdot b = 0,$ $a \neq 0$ であるとすると, $a$ の可逆元 $a^{-1}$ が存在して $a^{-1}\cdot a = 1$ となるから, \[ b = 1\cdot b = (a^{-1}\cdot a)\cdot b = a^{-1}\cdot (a\cdot b) = a^{-1}\cdot 0 = 0\] が成り立つ.

部分環

定義《部分環》

 $S$ を環 $R$ の空でない部分集合とする. $S$ が $R$ の加法, 乗法に関して環をなすとき, $S$ を $R$ の部分環(subring)と呼ぶ. ただし, $R$ が単位的である, つまり乗法に関する単位元 $1$ をもつとき, $S$ が上記の条件に加えて $1 \in S$ を満たすときに限り, $S$ を $R$ の部分環と呼ぶ.

命題《部分環の判定法》

 環 $R$ の部分集合 $S$ が $R$ の部分環であるためには, $0 \in S$ と \[ a,\ b \in S \Longrightarrow a+b,\ -a,\ a\cdot b \in S\] の成り立つことが必要十分である.

証明

 加法に関する結合法則 (R1), 加法に関する交換法則 (R4), 乗法に関する結合法則 (R5), 分配法則 (R6) は, $R$ の任意の元に対する条件であるから, $S$ の任意の元に対しても成り立つ. よって, $R$ における加法, 乗法から $S$ の加法, 乗法が定まるという \[ a,\ b \in S \Longrightarrow a+b,\ a\cdot b \in S\] と, 加法に関する単位元の存在 (R2), 加法に関する逆元の存在 (R3) が成り立つときに限り, $S$ は $R$ の部分環になる.

例《部分環》

 $\{ 0\}$ は $\mathbb Z$ の部分環, $\mathbb Z$ は $\mathbb Q$ の部分環である.

定義《部分体》

 $k$ を体 $K$ の空でない部分集合とする. $k$ が $K$ の加法, 乗法に関して体をなすとき, $k$ を $K$ の部分体(subfield)と呼ぶ.

命題《部分体の判定法》

 体 $K$ の部分集合 $k$ が $K$ の部分体であるためには, $0,$ $1 \in k$ と \[\begin{aligned} a,\ b \in k &\Longrightarrow a+b,\ -a,\ a\cdot b \in k \\ a \in k,\ a \neq 0 &\Longrightarrow a^{-1} \in k \end{aligned}\] の成り立つことが必要十分である.

証明

 乗法に関する交換法則 (R8) は, $K$ の任意の元に対する条件であるから, $k$ の任意の元に対しても成り立つ. よって, 部分環の判定法に乗法に関する単位元の存在 (R7), 乗法に関する逆元の存在の条件を付け加えれば, この判定法が得られる.

例《部分体》

 $\mathbb Q$ は $\mathbb R$ の部分体, $\mathbb R$ は $\mathbb C$ の部分体, $\mathbb Q$ は $\mathbb C$ の部分体である.