環
環
定義《環, 可換環, 整域》
- (1)
- 空集合でない集合 $R$ と $R$ 上の二項演算
\[\begin{aligned}
+:R\times R\to R&;(a,b)\mapsto a+b, \\
\cdot\,:R\times R\to R&;(a,b)\mapsto a\cdot b
\end{aligned}\]
が次を満たすとき, $R$ は加法 $+,$ 乗法 $\cdot$ に関して環 (英: ring, 仏: anneau) をなすといい, $3$ つ組 $(R,+,\cdot )$ を環と呼ぶ.
- (R1)
- 加法に関する結合法則 (associative law): $a,b,c \in R$ ならば, $(a+b)+c = a+(b+c)$ が成り立つ.
- (R2)
- 加法に関する単位元の存在: ある $0 \in R$ について, すべての $a \in R$ に対して $0+a = a+0 = a$ が成り立つ.
- (R3)
- 加法に関する逆元の存在: $a \in R$ ならば, ある $-a \in R$ について $a+(-a) = (-a)+a = 0$ が成り立つ.
- (R4)
- 加法に関する交換法則 (commutative law): $a,b \in R$ ならば, $a+b = b+a$ が成り立つ.
- (R5)
- 乗法に関する結合法則 (associative law): $a,b,c \in R$ ならば, $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$ が成り立つ.
- (R6)
- 分配法則 (distributive law): $a,b,c \in R$ ならば, $a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c,$ $(a+b)\cdot c = a\cdot c+b\cdot c$ が成り立つ.
- (2)
- 次の条件を満たす環 $R$ は単位的 (unitary) であるという.
- (R7)
- 乗法に関する単位元の存在: ある $1 \in R$ について, すべての $a \in R$ に対して $1\cdot a = a\cdot 1 = a$ が成り立つ.
- (3)
- 次の条件を満たす環 $R$ を可換環 (commutative ring) と呼ぶ.
- (R8)
- 乗法に関する交換法則 (commutative law): $a,b \in R$ ならば, $a\cdot b = b\cdot a$ が成り立つ.
- (4)
- 次の条件を満たす単位的可換環 $R$ を整域 (domain) と呼ぶ.
- (R9)
- 簡約法則 (cancellation law): $a,$ $b \in R$ ならば, $ab = 0$ $\Longrightarrow$「$a = 0$ または $b = 0$」が成り立つ.
- (5)
- $a,$ $b \in R$ に対して, $a+b$ を $a$ に $b$ を加えた和, $a\cdot b$ を $a$ に $b$ を掛けた積と呼ぶ. 積 $a\cdot b$ は $ab$ で表すことも多い. また, $a+(-b)$ を $a-b$ で表し, $a$ から $b$ を引いた差と呼ぶ. 二項演算 \[ -:R\times R\to R;(a,b)\mapsto a-b\] を $R$ の減法と呼ぶ.
- (6)
- 以下, $a,$ $b,$ $c \in R$ に対して, $(a+b)+c = a+(b+c),$ $(ab)c = a(bc)$ はかっこを外して $a+b+c,$ $abc$ と表してもよいとする. また, 正の整数 $n$ に対して, $n$ 個の $a$ の積を $a^n$ で表すことにする.
例《環, 可換環, 整域》
- (0)
- $1$ 元からなる集合 $\{ 0\}$ は $0+0 = 0,$ $0\cdot 0 = 0$ という二項演算に関して環をなす. これを零環 (zero ring) と呼ぶ.
- (1)
- 整数全体の集合 $\mathbb Z$ は通常の加法, 乗法に関して整域をなす. これを整数環 (ring of integers) と呼ぶ.
- (2)
- $n$ 行 $n$ 列の複素行列全体の集合は行列の加法, 乗法に関して環をなす. $n \geqq 2$ のとき, この環は非可換環である.
命題《単位元, 逆元の一意性》
$R$ を環とする.
- (1)
- (R2) において, $0 \in R$ はただ $1$ つに定まる.
(R3) において, 各 $a \in R$ に対して $-a$ はただ $1$ つに定まる.
(R7) において, $1 \in R$ はただ $1$ つに定まる.
- (2)
- $a \in R$ とする. ある $a^{-1} \in R$ について $a\cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = 1$ が成り立つとき, $a^{-1}$ はただ $1$ つに定まる.
証明
群の単位元・逆元の一意性 (こちらを参照) と同様である.
定義《環の単位元, 逆元》
$R$ を環とする.
- (1)
- (R2) を満たす $0$ を $R$ の加法に関する単位元 (unity), (R3) を満たす $-a$ を $a$ の加法に関する逆元 (inverse), (R7) を満たす $1$ を $R$ の乗法に関する単位元 (unity) と呼ぶ.
- (2)
- 上記の命題の (2) の条件を満たす $a \in R$ は可逆 (invertible) であるといい, $a^{-1}$ を $a$ の乗法に関する逆元 (inverse) と呼ぶ.
命題《環の演算の性質》
$R$ を環とする.
$a \in R$ ならば,
- (1)
- $0\cdot a = a\cdot 0 = 0$
- (2)
- $(-1)\cdot a = -a$
証明
- (1)
- (R6), (R2) により, \[ 0\cdot a+0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a\] が成り立つ. 両辺に $0\cdot a$ の加法に関する逆元を加えると, (R1), (R3) により \[\begin{aligned} (0\cdot a+0\cdot a)+(-0\cdot a) &= 0\cdot a+(-0\cdot a) \\ 0\cdot a+(0\cdot a+(-0\cdot a)) &= 0 \\ 0\cdot a &= 0 \end{aligned}\] が得られる.
- (2)
- (R7), (R6), (R3), (1) により, \[\begin{aligned} a+(-1)\cdot a &= 1\cdot a+(-1)\cdot a = (1+(-1))\cdot a \\ &= 0\cdot a = 0 \end{aligned}\] が成り立つ. (R4) により, $(-1)\cdot a+a = 0$ も成り立つ. よって, $(-1)\cdot a$ は加法に関する $a$ の逆元であるから, その一意性により $(-1)\cdot a = -a$ である.
定義《体》
複数個または無限個の元からなり, $0$ でないすべての元が可逆である単位的可換環を体 (field) と呼ぶ.
例《体》
有理数体全体の集合, 実数全体の集合, 複素数全体の集合は, 通常の加法, 乗法に関して体をなす.
これらの体をそれぞれ, 有理数体, 実数体, 複素数体と呼び, $\mathbb Q,$ $\mathbb R,$ $\mathbb C$ で表す.
命題《体における簡約法則》
すべての体は整域である.
証明
体 $K$ の元 $a,$ $b$ に対して $a\cdot b = 0,$ $a \neq 0$ であるとすると, $a$ の可逆元 $a^{-1}$ が存在して $a^{-1}\cdot a = 1$ となるから,
\[ b = 1\cdot b = (a^{-1}\cdot a)\cdot b = a^{-1}\cdot (a\cdot b) = a^{-1}\cdot 0 = 0\]
が成り立つ.
部分環
定義《部分環》
$S$ を環 $R$ の空でない部分集合とする.
$S$ が $R$ の加法, 乗法に関して環をなすとき, $S$ を $R$ の部分環 (subring) と呼ぶ.
ただし, $R$ が単位的である, つまり乗法に関する単位元 $1$ をもつとき, $S$ が上記の条件に加えて $1 \in S$ を満たすときに限り, $S$ を $R$ の部分環と呼ぶ.
命題《部分環の判定法》
環 $R$ の部分集合 $S$ が $R$ の部分環であるためには, $0 \in S$ と
\[ a,\ b \in S \Longrightarrow a+b,\ -a,\ a\cdot b \in S\]
の成り立つことが必要十分である.
証明
加法に関する結合法則 (R1), 加法に関する交換法則 (R4), 乗法に関する結合法則 (R5), 分配法則 (R6) は, $R$ の任意の元に対する条件であるから, $S$ の任意の元に対しても成り立つ.
よって, $R$ における加法, 乗法から $S$ の加法, 乗法が定まるという
\[ a,\ b \in S \Longrightarrow a+b,\ a\cdot b \in S\]
と, 加法に関する単位元の存在 (R2), 加法に関する逆元の存在 (R3) が成り立つときに限り, $S$ は $R$ の部分環になる.
例《部分環》
$\{ 0\}$ は $\mathbb Z$ の部分環, $\mathbb Z$ は $\mathbb Q$ の部分環である.
定義《部分体》
$k$ を体 $K$ の空でない部分集合とする.
$k$ が $K$ の加法, 乗法に関して体をなすとき, $k$ を $K$ の部分体 (subfield) と呼ぶ.
命題《部分体の判定法》
体 $K$ の部分集合 $k$ が $K$ の部分体であるためには, $0,$ $1 \in k$ と
\[\begin{aligned}
a,\ b \in k &\Longrightarrow a+b,\ -a,\ a\cdot b \in k \\
a \in k,\ a \neq 0 &\Longrightarrow a^{-1} \in k
\end{aligned}\]
の成り立つことが必要十分である.
証明
乗法に関する交換法則 (R8) は, $K$ の任意の元に対する条件であるから, $k$ の任意の元に対しても成り立つ.
よって, 部分環の判定法に乗法に関する単位元の存在 (R7), 乗法に関する逆元の存在の条件を付け加えれば, この判定法が得られる.
例《部分体》
$\mathbb Q$ は $\mathbb R$ の部分体, $\mathbb R$ は $\mathbb C$ の部分体, $\mathbb Q$ は $\mathbb C$ の部分体である.