群の単位元・逆元の一意性 (こちらを参照) と同様である.

(1)

(R3), (R2) により \[\begin{aligned} (a+b)+(-b-a) &= a+(b+(-b))+(-a) \\ &= a+0+(-a) = a+(-a) = 0 \end{aligned}\] が成り立つ. よって, $-b-a$ は $a+b$ の加法に関する逆元であるから, その逆元の一意性により $-(a+b) = -b-a$ が成り立つ.
　後者についても同様である.

(2)

(R6), (R2) により, \[ 0\cdot a+0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a\] が成り立つ. 両辺に $0\cdot a$ の加法に関する逆元を加えると, (R1), (R3) により \[\begin{aligned} (0\cdot a+0\cdot a)+(-0\cdot a) &= 0\cdot a+(-0\cdot a) \\ 0\cdot a+(0\cdot a+(-0\cdot a)) &= 0 \\ 0\cdot a &= 0 \end{aligned}\] が得られる.

(3)

(R3) により, \[ (-a)+a = a+(-a) = 0\] が成り立つ. これは $a$ が $-a$ の加法に関する逆元であることを意味するから, その一意性により $-(-a) = a$ が成り立つ.
　後者についても同様である.

(4)

(R7), (R6), (R3), (2) により, \[\begin{aligned} a+(-1)a &= 1\cdot a+(-1)a = (1+(-1))a \\ &= 0\cdot a = 0 \end{aligned}\] が成り立つ. (R4) により, $(-1)a+a = 0$ も成り立つ. これは $(-1)a$ が $a$ の加法に関する逆元であることを意味するから, その一意性により $(-1)a = -a$ が成り立つ.

(5)

(2), (R3), (R6) により, \[ 0 = 0\cdot (-b) = (a+(-a))(-b) = a(-b)+(-a)(-b)\] が成り立つ. また, (4) により \[\begin{aligned} a(-b) &= a((-1)b) = (a(-1))b \\ &= ((-1)a)b = (-1)(ab) = -ab \end{aligned}\] が成り立つ. よって, $(-a)(-b)$ は $-ab$ の加法に関する逆元であるから, その逆元の一意性, (3) により \[ (-a)(-b) = -(-ab) = ab\] が成り立つ.

　(1), (2) は同様に証明できる. ここでは, (2) を示す.

(2.1)

(i)

$m \geqq 0,$ $n \geqq 0$ のとき. $a^ma^n$ は $m+n$ 個の $a$ の積であるから, $a^ma^n = a^{m+n}$ が成り立つ.

(ii)

$m \geqq 0,$ $n < 0,$ $a \in R^\times$ のとき. \[\begin{aligned} &a^ma^n = a^m(a^{-1})^{-n} \\ &= \begin{cases} a^{m-(-n)} = a^{m+n} & (m \geqq -n) \\ (a^{-1})^{-n-m} = (a^{-1})^{-(m+n)} = a^{m+n} & (m < -n) \end{cases} \end{aligned}\] が成り立つ.

(iii)

$m < 0,$ $n \geqq 0,$ $a \in R^\times$ のとき. (ii) と同様である.

(iv)

$m < 0,$ $n < 0,$ $a \in R^\times$ のとき. (i) の結果により, \[\begin{aligned} a^ma^n &= (a^{-1})^{-m}(a^{-1})^{-n} \\ &= (a^{-1})^{(-m)+(-n)} = (a^{-1})^{-(m+n)} = a^{m+n} \end{aligned}\] が成り立つ.

(2.2)

(i)

$n > 0$ のとき. 仮定により, $(ab)^n$ は $n$ 個の $a$ と $n$ 個の $b$ の積であるから, $(ab)^n = a^nb^n$ が成り立つ.

(ii)

$n < 0,$ $a,$ $b \in R^\times$ のとき. (i) の結果により, \[\begin{aligned} (ab)^n &= ((ab)^{-1})^{-n} = (a^{-1}b^{-1})^{-n} \\ &= (a^{-1})^{-n}(b^{-1})^{-n} = a^nb^n \end{aligned}\] が成り立つ.

(2.3)

(i)

$a = 1,$ $n \geqq 0$ のとき. (2.2) により \[ b^n(b^{-1})^n = (bb^{-1})^n = 1^n = 1\] であるから, $(b^{-1})^n = (b^n)^{-1}$ が成り立つ.

(ii)

$a = 1,$ $n < 0$ のとき. (i) の結果により \[\begin{aligned} b^n(b^{-1})^n &= (b^{-1})^{-n}((b^{-1}) ^{-1})^{-n} = (b^{-1})^{-n}b^{-n} \\ &= (b^{-1}b)^{-n} = 1^{-n} = 1 \end{aligned}\] であるから, $(b^{-1})^n = (b^n)^{-1}$ が成り立つ.

(iii)

一般の場合. (2.2) と (i), (ii) の結果により, \[ (ab^{-1})^n = a^n(b^{-1})^n = a^n(b^n)^{-1}\] が成り立つ.

(2.4)

(i)

$m \geqq 0,$ $n \geqq 0$ のとき. $(a^m)^n$ は $mn$ 個の $a$ の積であるから, $(a^m)^n = a^{mn}$ が成り立つ.

(ii)

$m \geqq 0,$ $n < 0,$ $a \in R^\times$ のとき. (2.3) と (i) の結果により, \[\begin{aligned} (a^m)^n &= ((a^m)^{-1})^{-n} = ((a^m)^{-n})^{-1} = (a^{m(-n)})^{-1} \\ &= (a^{-mn})^{-1} = (a^{-1})^{-mn} = a^{mn} \end{aligned}\] が成り立つ.

(iii)

$m < 0,$ $n \geqq 0,$ $a \in R^\times$ のとき. (2.3) と (i) の結果により, \[\begin{aligned} (a^m)^n &= ((a^{-1})^{-m})^n = ((a^{-m})^{-1})^n = ((a^{-m})^n)^{-1} \\ &= (a^{(-m)n})^{-1} = (a^{-mn})^{-1} = (a^{-1})^{-mn} = a^{mn} \end{aligned}\] が成り立つ.

(iv)

$m < 0,$ $n < 0,$ $a \in R^\times$ のとき. (2.3) と (i) の結果により, \[\begin{aligned} (a^m)^n &= (((a^{-m})^{-1})^{-n})^{-1} = (((a^{-m})^{-n})^{-1})^{-1} \\ &= (a^{-m})^{-n} = a^{(-m)(-n)} = a^{mn} \end{aligned}\] が成り立つ.

　左辺 $(a+b)^n = (a+b)\cdots (a+b)$ を展開すると, 各かっこ $(a+b)$ において $a,$ $b$ のいずれかを選んで掛け合わせることで $a^{n-i}b^i$ $(0 \leqq i \leqq n)$ の形の項が得られ, 逆にこの形以外の項は出てこない. $a^{n-i}b^i$ の形の項は, $n$ 個のかっこのうち $i$ 個から $b$ を選ぶ方法の総数 $\dbinom{n}{i}$ だけあるから, 式をまとめると求める等式が得られる.

　$A$ の標数が $p = mn$ $(1 \leqq m \leqq n \leqq p)$ であるとする. このとき, $p\cdot 1 = 0$ つまり $(mn)\cdot 1 = 0$ と, 分配法則により \[ (m\cdot 1)(n\cdot 1) = (mn)\cdot 1\] であることから, $(m\cdot 1)(n\cdot 1) = 0$ である. よって, 簡約法則により

$m\cdot 1 = 0$　または　$n\cdot 1 = 0$

が成り立つ. 整域は零環でないから $p > 1$ であることに注意すると, $p$ の最小性により $m = 1,$ $n = p$ が得られる. ゆえに, $p$ は素数である.

　体 $K$ の元 $a,$ $b$ に対して $a\cdot b = 0,$ $a \neq 0$ であるとすると, $a$ の可逆元 $a^{-1}$ が存在して $a^{-1}\cdot a = 1$ となるから, \[ b = 1\cdot b = (a^{-1}\cdot a)\cdot b = a^{-1}\cdot (a\cdot b) = a^{-1}\cdot 0 = 0\] が成り立つ.

　加法に関する結合法則 (R1), 加法に関する交換法則 (R4), 乗法に関する結合法則 (R5), 分配法則 (R6) は, $R$ の任意の元に対する条件であるから, $S$ の任意の元に対しても成り立つ. よって, $R$ における加法, 乗法から $S$ の加法, 乗法が定まるという \[ a,\ b \in S \Longrightarrow a+b,\ a\cdot b \in S\] と, 加法に関する単位元の存在 (R2), 加法に関する逆元の存在 (R3) が成り立つときに限り, $S$ は $R$ の部分環になる.

　乗法に関する交換法則 (R8) は, $K$ の任意の元に対する条件であるから, $k$ の任意の元に対しても成り立つ. よって, 部分環の判定法に乗法に関する単位元の存在 (R7), 乗法に関する逆元の存在の条件を付け加えれば, この判定法が得られる.

(1)

単位元の性質により \[\varphi (0)+\varphi (0) = \varphi (0+0) = \varphi (0)\] が成り立つから, 両辺に $\varphi (0)$ の逆元を加えると $\varphi (0) = 0$ が得られる.

(2)

逆元の性質により \[ 0 = \varphi (0) = \varphi (a+(-a)) = \varphi (a)+\varphi (-a)\] が成り立ち, これは $\varphi (-a) = -\varphi (a)$ であることを意味する.

　$R$ の各元 $a,$ $b$ に対して \[\begin{aligned} (\psi\circ\varphi )(a+b) &= \psi (\varphi (a+b)) = \psi (\varphi (a)+\varphi (b)) \\ &= \psi (\varphi (a))+\psi (\varphi (b)) = (\psi\circ\varphi )(a)+(\psi\circ\varphi )(b), \\ (\psi\circ\varphi )(ab) &= \psi (\varphi (ab)) = \psi (\varphi (a)\varphi (b)) \\ &= \psi (\varphi (a))\psi (\varphi (b)) = (\psi\circ\varphi )(a)(\psi\circ\varphi )(b) \end{aligned}\] が成り立ち, $R,$ $R',$ $R''$ が単位元をもつ場合は \[ (\psi\circ\varphi )(1) = \psi (\varphi (1)) = \psi (1) = 1\] であるから, $\psi\circ\varphi$ は環の準同型である.