イデアル
可換環 (加法, 減法, 乗法が定義され, 加法, 乗法について交換法則, 結合法則, 分配法則を満たす集合; 例えば整数全体の集合 $\mathbb Z$) の理論において,
イデアルの概念は非常に重要である.
イデアル
定義《イデアル》
$A$ を可換環とする.
$A$ の空でない部分集合 $I$ が次の条件を満たすとき, $I$ を $A$ のイデアル (ideal) と呼ぶ.
- (I1)
- $a,$ $b \in I$ $\Longrightarrow$ $a+b \in I$ が成り立つ.
- (I2)
- $c \in A,$ $a \in I$ $\Longrightarrow$ $ca \in I$ が成り立つ.
注意
上記の $2$ つの条件は, 次の条件にまとめられる.
- (I)
- $c_1,$ $c_2 \in A,$ $a_1,$ $a_2 \in I$ $\Rightarrow$ $c_1a_1+c_2a_2 \in I$ が成り立つ.
例《イデアル》
$A$ を可換環とする.
- (1)
- $\{ 0\}$ と $A$ 自身は $A$ のイデアルである. これを $A$ の自明なイデアル (trivial ideal) と呼ぶ.
- (2)
- $g_1,$ $\cdots,$ $g_n \in A$ に対して, \[\{ c_1g_1+\cdots +c_ng_n \mid c_1,\cdots,c_n \in A\}\] は $A$ のイデアルである. これを $g_1,$ $\cdots,$ $g_n$ により生成される $A$ のイデアル (ideal of $A$ generated by $g_1,$ $\cdots,$ $g_n$) と呼び, $\langle g_1,\cdots,g_n\rangle$ で表す. 特に, $g \in A$ に対して, \[\langle g\rangle = \{ cg \mid c \in A\}\] を $g$ により生成される $A$ の単項イデアル (principal ideal) と呼ぶ. 特に, すべての整数 $m$ に対して, $m$ の倍数全体 $\{ mq \mid q \in \mathbb Z\}$ は整数環 $\mathbb Z$ のイデアルである.
- (3)
- $S$ を $A$ の空でない部分集合とする. $S$ を含むような $A$ のイデアルすべての共通部分は, $S$ を含むような $A$ の最小のイデアルとなる. このイデアルを $S$ により生成される $A$ のイデアルと呼び, $\langle S\rangle$ で表す. また, $S$ をその生成系 (generating set), $S$ の元をその生成元 (generator) と呼ぶ.
命題《体のイデアル》
$K$ を環とする.
このとき,
が成り立つ.
| $K$ は体 $\iff$ $K$ のイデアルは自明なイデアルに限る |
証明
$(\Longrightarrow)$ を示すため, $K$ を体とする.
このとき, $K$ のイデアル $\mathfrak a$ が $0$ 以外の元 $a$ を含むならば, $a^{-1}a = 1 \in \mathfrak a$ を満たすから, $\mathfrak a = K$ となる.
$(\Longleftarrow)$ を示すため, $K$ のイデアルが自明なイデアルに限るとする. このとき, $K$ の $0$ でない元 $a$ に対して, $1 \in K = (a)$ であるから, $1 = ca$ を満たす $K$ の元 $c$ が存在する. よって, $K$ は体である.
$(\Longleftarrow)$ を示すため, $K$ のイデアルが自明なイデアルに限るとする. このとき, $K$ の $0$ でない元 $a$ に対して, $1 \in K = (a)$ であるから, $1 = ca$ を満たす $K$ の元 $c$ が存在する. よって, $K$ は体である.
定理《整数環のイデアルの単項性》
整数環 $\mathbb Z$ のイデアルはすべて単項イデアルである.
証明
$I$ を $\mathbb Z$ の任意のイデアルとする.
- (i)
- $I = \{ 0\}$ のとき. $I = \langle 0\rangle$ である.
- (ii)
- $I \neq \{ 0\}$ のとき. $a \in I \Longrightarrow -a \in I$ が成り立つから, $I$ は正の整数を含む. $I$ に属する正の整数のうち絶対値が最小の整数を $m$ とおく. このとき, $a$ を $I$ に属する任意の整数とし, $a$ を $m$ で割った商を $q,$ 余りを $r$ とおくと, \[ r = a+m(-q) \in I, \quad 0 \leqq r < m\] となるから, $m$ の最小性により $r = 0,$ $a = mq$ となる. よって, $I = \langle m\rangle$ である.
命題《イデアルの和》
$A$ を可換環, $(I_\lambda )_{\lambda \in \mathit\Lambda}$ を $A$ のイデアルの族とする.
このとき, 実質的有限和
\[\sum_{\lambda \in \mathit\Lambda}a_\lambda \quad (a_\lambda \in I_\lambda )\]
(有限個の $a_\lambda$ $(\lambda \in \mathit\Lambda )$ を除いて $a_\lambda = 0$) 全体は各イデアル $I_\lambda$ $(\lambda \in \mathit\Lambda )$ を含む $A$ の最小のイデアルである.
定義《イデアルの和, 積》
$A$ を可換環, $(I_\lambda )_{\lambda \in \mathit\Lambda}$ を $A$ のイデアルの族, $I_1,$ $\cdots,$ $I_n$ を $A$ のイデアルとする.
- (1)
- 上記の命題のイデアルを $(I_\lambda )_{\lambda \in \mathit\Lambda}$ の和 (sum) と呼び, $\sum_{\lambda \in \mathit\Lambda}I_\lambda$ で表す. 特に, ${\mathit\Lambda} = \{ 1,2\}$ のとき, これを $I_1+I_2$ で表す. $I_1+I_2 = (1)$ のとき, $I_1,$ $I_2$ は互いに素 (coprime) であるという. また, $\lambda \neq \mu \Longrightarrow I_\lambda +I_\mu = (1)$ のとき, $(I_\lambda )_{\lambda \in \mathit\Lambda}$ は対ごとに素 (pairwise coprime) であるという.
- (2)
- \[\{ a_1\cdots a_n \mid a_1 \in I_1,\ \cdots,\ a_n \in I_n\}\] により生成される $A$ のイデアルを $I_1,$ $\cdots,$ $I_n$ の積 (product) と呼び, $I_1\cdots I_n$ または $\prod_{i = 1}^nI_i$ で表す.
命題《イデアルの共通部分》
$A$ を可換環, $(I_\lambda )_{\lambda \in \mathit\Lambda}$ を $A$ のイデアルの族とする.
このとき,
\[\bigcap_{\lambda \in \mathit\Lambda}I_\lambda = \{ a \mid a \in I_\lambda\ (\lambda \in \mathit\Lambda )\}\]
は $A$ のイデアルである.
参考
より一般に, $A$ 加群の族の共通部分は $A$ 加群である.
命題《イデアルの積と共通部分の関係》
$A$ を可換環, $I_1,$ $\cdots,$ $I_n$ $(n \geqq 2)$ を $A$ のイデアルとする.
このとき,
\[\prod _{k = 1}^nI_k \subset \bigcap _{k = 1}^nI_k\]
が成り立つ.
さらに, $I_1,$ $\cdots,$ $I_n$ が対ごとに素であるとき, この包含関係は等式になる.
証明
前半の主張: 明らかである.
後半の主張: 数学的帰納法で示す.
後半の主張: 数学的帰納法で示す.
- (i)
- $n = 2$ のとき. 分配法則により \[ (I_1+I_2)(I_1\cap I_2) = I_1(I_1\cap I_2)+I_2(I_1\cap I_2) \subset I_1I_2\] が成り立つから, $I_1+I_2 = (1)$ のとき $I_1\cap I_2 = I_1I_2$ が成り立つ.
- (ii)
- $n > 2$ のとき. $I_1,$ $\cdots,$ $I_{n-1}$ に対して主張が成り立つとし, \[ I = \prod_{k = 1}^{n-1}I_k = \bigcap_{k = 1}^{n-1}I_k\] とおく. $I_k+I_n = (1)$ $(1 \leqq k \leqq n-1)$ であるから, \[ x_k+y_k = 1\] を満たす $x_k \in I_k,$ $y_k \in I_n$ が存在し, \[\prod_{k = 1}^{n-1}x_k = \prod_{k = 1}^{n-1}(1-y_k) \equiv 1 \pmod{I_n}\] が成り立つ. よって, $I+I_n = (1)$ であるから, (i) の結果を利用すると \[\prod_{k = 1}^nI_k = II_n = I\cap I_n = \bigcap_{k = 1}^nI_k\] が得られる.
命題《イデアルの分配法則, モジュラー法則》
$A$ を可換環, $I,$ $J_1,$ $J_2$ を $A$ のイデアルとする.
このとき,
\[ I(J_1+J_2) = IJ_1+IJ_2\]
が成り立つ (分配法則).
また, $I \supset J_1,$ $I \supset J_2$ ならば,
\[ I\cap (J_1+J_2) = I\cap J_1+I\cap J_2\]
が成り立つ (モジュラー法則).
命題《環の準同型とイデアル》
$\varphi :A\to A'$ を可換環の準同型とする.
- (1)
- $\varphi$ が全射ならば, $A$ のイデアル $I$ に対して $\varphi (I)$ は $A'$ のイデアルである.
- (2)
- $A'$ のイデアル $I'$ に対して $\varphi ^{-1}(I')$ は $A$ のイデアルである.
証明
- (1)
- $\varphi$ が全射であるとする. このとき, $0 = \varphi (0) \in \varphi (I)$ から $\varphi (I) \neq \varnothing$ である. また, $\varphi (I)$ の元 $a',$ $b',$ $A'$ の元 $c'$ は $a' = \varphi (a),$ $b' = \varphi (b),$ $c' = \varphi (c)$ $(a,$ $b,$ $c \in A)$ の形に表されるから, \[\begin{aligned} a'+b' &= \varphi (a)+\varphi (b) = \varphi (a+b) \in \varphi (I), \\ c'a' &= \varphi (c)\varphi (a) = \varphi (ca) \in \varphi (I) \end{aligned}\] を満たす. よって, $\varphi (I)$ は $A'$ のイデアルである.
- (2)
- $\varphi (0) = 0 \in I'$ により $0 \in \varphi ^{-1}(I')$ であるから, $\varphi ^{-1}(I') \neq \varnothing$
- $a,$ $b \in \varphi ^{-1}(I')$ ならば, $\varphi (a+b) = \varphi (a)+\varphi (b) \in I'$ となるから, $a+b \in \varphi ^{-1}(I')$
- $c \in A,$ $a \in \varphi ^{-1}(I')$ ならば, $\varphi (ca) = \varphi (c)\varphi (a) \in I'$ となるから, $ca \in \varphi ^{-1}(\mathfrak b)$
命題《環の直積のイデアル》
$(A_\lambda )_{\lambda \in \mathit\Lambda}$ を可換環の族, $I_\lambda$ を $A_\lambda$ のイデアルとする.
集合の直積 $\prod_{\lambda \in \mathit\Lambda}I_\lambda$ は $\prod_{\lambda \in \mathit\Lambda}A_\lambda$ のイデアルである.
また, $\prod_{\lambda \in \mathit\Lambda}A_\lambda$ のすべてのイデアルはこの形に表される.
剰余環
命題《剰余環》
$A$ を可換環, $I$ を $A$ のイデアルとする.
$A$ の元 $a,$ $b$ に対して
\[ a \sim b \iff b-a \in I\]
で定まる $A$ 上の二項関係は同値関係である.
$a$ の同値類を $a+I$ で表すとき, その同値類全体 $A/\sim$ は
\[\begin{aligned}
(a+I)+(b+I) &= (a+b)+I, \\
(a+I)(b+I) &= ab+I
\end{aligned}\]
で定まる加法, 乗法に関して可換環をなす.
証明
$A/I$ は, $A$ の加法群の部分群 $I$ による剰余群として, 加法に関して可換群をなす (こちらを参照).
$a+I = a'+I,$ $b+I = b'+I$ $(a,b,a',b' \in A)$ のとき, $I$ が $A$ のイデアルであることから
\[ a-a',\ b-b' \in I, \quad a(b-b'),\ (a-a')b' \in I\]
となり,
\[ ab-a'b' = a(b-b')+(a-a')b' \in I\]
したがって $ab+I = a'b'+I$ が得られるので, $A/I$ の乗法は代表の取り方によらないことに注意する.
乗法に関する結合法則, 単位元の存在, 交換法則は, 加法と同様に示される.
分配法則は,
\[\begin{aligned}
&(c+I)((a+I)+(b+I)) = (c+I)((a+b)+I) \\
&= c(a+b)+I = (ca+cb)+I \\
&= (ca+I)+(cb+I) = (c+I)(a+I)+(c+I)(b+I) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad (a,b,c \in A)
\end{aligned}\]
と示される.
定義《剰余環》
上記の命題の可換環 $A/\sim$ を $A$ の $I$ を法とする剰余 (類) 環または商環 (residue (class) ring, quotient ring) と呼び, $A/I$ で表す.
命題《剰余環のイデアル》
$A$ を可換環, $I$ を $A$ のイデアルとし, $\pi :A\to A/I$ を標準的な全射準同型とする.
このとき, $A/I$ のイデアル全体と $I$ を含むような $A$ のイデアル全体の間には, 包含関係を保つ $1$ 対 $1$ 対応
\[ J \mapsto \pi ^{-1}(J)\]
が存在する.
環の準同型定理
命題《環の準同型によるイデアルの逆像, 部分環の像》
$\varphi :A\to A'$ を可換環の準同型とする.
- (1)
- $\varphi$ による $A'$ のイデアル $I'$ の逆像 \[\varphi ^{-1}(I') = \{ a \in A \mid \varphi (a) \in I'\}\] は $A$ のイデアルである.
- (2)
- $\varphi$ による $A$ の部分環 $S$ の像 \[\varphi (S) = \{\varphi (a) \mid a \in S\}\] は $A'$ の部分環である.
証明
- (1)
- $\varphi (0) = 0 \in I'$ から $\varphi ^{-1}(I') \neq \varnothing$ である. また, $a,$ $b \in \varphi ^{-1}(I'),$ $c \in A$ のとき, $\varphi (a),$ $\varphi (b) \in I'$ から \[\begin{aligned} \varphi (a+b) &= \varphi (a)+\varphi (b) \in I', \\ \varphi (ca) &= \varphi (c)\varphi (a) \in I' \end{aligned}\] となり, $a+b,$ $ca \in \varphi ^{-1}(I')$ となるから, $\varphi ^{-1}(I')$ は $A$ のイデアルである.
- (2)
- $S \neq \varnothing$ から $\varphi (S) \neq \varnothing$ である. また, $\varphi (S)$ の元 $a',$ $b'$ は $S$ の元 $a,$ $b$ を用いて $a' = \varphi (a),$ $b' = \varphi (b)$ と表され, よって $a'+b',$ $-a',$ $a'b'$ も $S$ の元 $a+b,$ $-a,$ $ab$ を用いて \[\begin{aligned} a'+b' &= \varphi (a)+\varphi (b) = \varphi (a+b), \\ -a' &= -\varphi (a) = \varphi (-a), \\ a'b' &= \varphi (a)\varphi (b) = \varphi (ab) \end{aligned}\] と表されるから, $a'+b',$ $-a',$ $a'b' \in \varphi (S)$ となる. よって, $\varphi (S)$ は $A'$ の部分環である.
定義《環の準同型の核, 像》
$\varphi :A\to A'$ を可換環の準同型とする.
- (1)
- $\varphi$ による $\{ 0\}$ の逆像を $\varphi$ の核 (kernel) と呼び, $\mathrm{Ker}\,(\varphi )$ で表す.
- (2)
- $\varphi$ の値域 $\varphi (A)$ を $\varphi$ の像 (image) と呼び, $\mathrm{Im}\,(\varphi )$ で表す.
定理《環の第 $1$ 同型定理 (準同型定理)》
可換環の準同型 $\varphi :A\to A'$ について,
\[ A/\mathrm{Ker}\,(\varphi ) \cong \mathrm{Im}\,(\varphi )\]
が成り立つ.
この同型は, $\varphi$ から誘導される
\[\begin{array}{crcl}
\bar\varphi :\!\!\!\!\! & A/\mathrm{Ker}\,(\varphi ) & \!\!\!\to\!\!\! & \mathrm{Im}\,(\varphi ) \\
{} & a+\mathrm{Ker}\,(\varphi ) & \!\!\!\mapsto\!\!\! & \varphi (a)
\end{array}\]
で与えられる.
特に, 可換環の全射準同型 $\varphi :A\to A'$ について, \[ A/\mathrm{Ker}\,(\varphi ) \cong A'\] が成り立つ.
特に, 可換環の全射準同型 $\varphi :A\to A'$ について, \[ A/\mathrm{Ker}\,(\varphi ) \cong A'\] が成り立つ.
証明
$I = \mathrm{Ker}\,(\varphi )$ とおく.
$A/I$ の元 $a+I,$ $b+I$ $(a,\ b \in A)$ に対して
\[\begin{aligned}
a+I = b+I &\iff a-b \in I \\
&\iff \varphi (a-b) = 0 \\
&\iff \varphi (a)-\varphi (b) = 0 \\
&\iff \varphi (a) = \varphi (b) \\
&\iff \bar\varphi (a+I) = \bar\varphi (b+I)
\end{aligned}\]
が成り立つから, $a+I$ の値 $\bar\varphi (a+I) = \varphi (a)$ は $a+I$ の代表 $a$ のとり方によらず定まることに注意する.
$A/I$ の元 $a+I,$ $b+I$ $(a,\ b \in A)$ に対して \[\begin{aligned} \bar\varphi ((a+I)+(b+I)) &= \bar\varphi ((a+b)+I) \\ &= \varphi (a+b) \\ &= \varphi (a)+\varphi (b) \\ &= \bar\varphi (a+I)+\bar\varphi (b+I), \\ \bar\varphi ((a+I)(b+I)) &= \bar\varphi (ab+I) \\ &= \varphi (ab) \\ &= \varphi (a)\varphi (b) \\ &= \bar\varphi (a+I)\bar\varphi (b+I) \end{aligned}\] が成り立つから, $\bar\varphi$ は可換環の準同型である.
$A/I$ の元 $a+I$ $(a \in A)$ に対して \[\begin{aligned} \bar\varphi (a+I) = 0 &\iff \varphi (a) = 0 \\ &\iff a \in I \\ &\iff a+I = I \end{aligned}\] が成り立つから, $\bar\varphi$ は単射である.
$\mathrm{Im}\,(\varphi )$ の各元 $a'$ は $A$ のある元 $a$ を用いて \[ a' = \varphi (a) = \bar\varphi (a+I)\] と表されるから, $\bar\varphi$ は全射である.
以上により, $\bar\varphi$ は可換環の同型である.
$A/I$ の元 $a+I,$ $b+I$ $(a,\ b \in A)$ に対して \[\begin{aligned} \bar\varphi ((a+I)+(b+I)) &= \bar\varphi ((a+b)+I) \\ &= \varphi (a+b) \\ &= \varphi (a)+\varphi (b) \\ &= \bar\varphi (a+I)+\bar\varphi (b+I), \\ \bar\varphi ((a+I)(b+I)) &= \bar\varphi (ab+I) \\ &= \varphi (ab) \\ &= \varphi (a)\varphi (b) \\ &= \bar\varphi (a+I)\bar\varphi (b+I) \end{aligned}\] が成り立つから, $\bar\varphi$ は可換環の準同型である.
$A/I$ の元 $a+I$ $(a \in A)$ に対して \[\begin{aligned} \bar\varphi (a+I) = 0 &\iff \varphi (a) = 0 \\ &\iff a \in I \\ &\iff a+I = I \end{aligned}\] が成り立つから, $\bar\varphi$ は単射である.
$\mathrm{Im}\,(\varphi )$ の各元 $a'$ は $A$ のある元 $a$ を用いて \[ a' = \varphi (a) = \bar\varphi (a+I)\] と表されるから, $\bar\varphi$ は全射である.
以上により, $\bar\varphi$ は可換環の同型である.
定理《中国式剰余定理》
$A$ を可換環, $I_1,$ $\cdots,$ $I_n$ $(n \geqq 2)$ を対ごとに素な $A$ のイデアルとする.
このとき,
\[ A/\prod _{k = 1}^nI_k \cong \prod_{k = 1}^n(A/I_k)\]
が成り立つ.
証明
数学的帰納法で示す.
- (i)
- $n = 2$ のとき. \[ f:A \to (A/I_1)\times (A/I_2);a \mapsto (a\bmod I_1,a\bmod I_2)\] について, \[\mathrm{Ker}\,(f) = I_1\cap I_2 = I_1I_2\] であり (右側の等号についてはこちらを参照), $x_1+x_2 = 1$ を満たす $x_1 \in I_1,$ $x_2 \in I_2$ をとると $a_1,$ $a_2 \in A$ に対して \[ a_2x_1+a_1x_2 = a_1+(a_2-a_1)x_1 = a_2+(a_1-a_2)x_2\] よって \[ f(a_2x_1+a_1x_2) = (a_1\bmod I_1,a_2\bmod I_2)\] となるから $f$ は全射である. したがって, 準同型定理により \[ A/(I_1I_2) = A/(I_1\cap I_2) \cong (A/I_1)\times (A/I_2)\] が成り立つ.
- (i)
- $n > 2$ のとき. $I_1,$ $\cdots,$ $I_{n-1}$ に対して主張が成り立つとする. このとき, $\prod _{k = 1}^{n-1}I_k,$ $I_n$ が互いに素であることに注意すると (こちらを参照), \[\begin{aligned} A/\prod _{k = 1}^nI_k &= A/\left(\prod _{k = 1}^{n-1}I_k\cdot I_n\right) \\ &\cong \left( A/\prod _{k = 1}^{n-1}I_k\right)\times (A/I_n) \\ &\cong \prod_{k = 1}^{n-1}(A/I_k)\times (A/I_n) \\ &= \prod_{k = 1}^n(A/I_k) \end{aligned}\] が得られる.
素イデアル, 極大イデアル
定義《素イデアル, 極大イデアル》
$A$ を環とする.
- (1)
- $A$ のイデアル $\mathfrak p$ が $A$ の各元 $a,$ $b$ に対して次の条件を満たすとき, $\mathfrak p$ を $A$ の素イデアル (prime ideal) と呼ぶ.
$ab \in \mathfrak p$ $\Longrightarrow$ “$a \in \mathfrak p$ または $b \in \mathfrak p.$” - (2)
- $A$ のイデアル $\mathfrak m$ が $A$ の各イデアル $\mathfrak a$ に対して次の条件を満たすとき, $\mathfrak m$ を $A$ の極大イデアル (maximal ideal) と呼ぶ. \[\mathfrak a \supset \mathfrak m,\ \mathfrak a \neq \mathfrak m \Longrightarrow \mathfrak a = A.\]
命題《素イデアル, 極大イデアルの特徴付け》
$A$ を環, $\mathfrak p,$ $\mathfrak m$ を $A$ のイデアルとする.
- (1)
- $\mathfrak p$ は $A$ の素イデアル $\iff$ $A/\mathfrak p$ は整域
- (2)
- $\mathfrak m$ は $A$ の極大イデアル $\iff$ $A/\mathfrak m$ は体
- (3)
- $\mathfrak m$ は $A$ の極大イデアル $\Longrightarrow$ $\mathrm m$ は $A$ の素イデアル
証明
- (1)
- 定義により,
が成り立つ.$\mathfrak p$ は $A$ の素イデアル $\iff$ “$ab \in \mathfrak p$ $\Longrightarrow$ ‘$a \in \mathfrak p$ または $b \in \mathfrak p$’” $(a,\ b \in A)$ $\iff$ “$ab+\mathfrak p = 0+\mathfrak p$ $\Longrightarrow$ ‘$a+\mathfrak p = 0+\mathfrak p$ または $b+\mathfrak p = 0+\mathfrak p$’” $(a,\ b \in A)$ $\iff$ $A/\mathfrak p$ は整域 - (2)
- 命題《剰余環のイデアル》により,
が成り立つ.$\mathfrak m$ は極大イデアル $\iff$ $\mathfrak m$ を含む $A$ のイデアルは $\mathfrak m,$ $A$ に限る $\iff$ $A/\mathfrak m$ のイデアルは自明なイデアルに限る $\iff$ $A/\mathfrak m$ は体 - (3)
- 体は整域であるから,
が成り立つ.$\mathfrak m$ は極大イデアル $\iff$ $A/\mathfrak m$ は体 $\;\,\Longrightarrow\;\,$ $A/\mathfrak m$ は整域 $\iff$ $\mathfrak m$ は素イデアル
高校数学の問題
整数の性質
問題《$1$ 次不定方程式とイデアル》
整数全体の集合を $\mathbb Z$ で表す.
$a,$ $b \in \mathbb Z,$ $ab \neq 0$ として,
\[ I = \{ ax+by \mid x,\ y \in \mathbb Z\}\]
とおく.
各整数 $m$ に対して $m\mathbb Z = \{ mz \mid z \in \mathbb Z\}$ と定める.
次のことを示せ.
- (1)
- $c_1,$ $c_2 \in \mathbb Z,$ $i_1,$ $i_2 \in I$ $\Longrightarrow$ $c_1i_1+c_2i_2 \in I$ が成り立つ.
- (2)
- $I$ に属する最小の正の整数を $d$ とおく. このとき, $I = d\mathbb Z$ である.
- (3)
- $a,$ $b$ の最大公約数を $g$ とおく. このとき, $I = g\mathbb Z$ である.
解答例
こちらを参照.