$(\Longrightarrow)$ を示すため, $K$ を体とする. このとき, $K$ のイデアル $\mathfrak a$ が $0$ 以外の元 $a$ を含むならば, $a^{-1}a = 1 \in \mathfrak a$ を満たすから, $\mathfrak a = K$ となる.
　$(\Longleftarrow)$ を示すため, $K$ のイデアルが自明なイデアルに限るとする. このとき, $K$ の $0$ でない元 $a$ に対して, $1 \in K = (a)$ であるから, $1 = ca$ を満たす $K$ の元 $c$ が存在する. よって, $K$ は体である.

　$I$ を $\mathbb Z$ の任意のイデアルとする.

(i)

$I = \{ 0\}$ のとき. $I = \langle 0\rangle$ である.

(ii)

$I \neq \{ 0\}$ のとき. $a \in I \Longrightarrow -a \in I$ が成り立つから, $I$ は正の整数を含む. $I$ に属する正の整数のうち絶対値が最小の整数を $m$ とおく. このとき, $a$ を $I$ に属する任意の整数とし, $a$ を $m$ で割った商を $q,$ 余りを $r$ とおくと, $$r = a+m(-q) \in I, \quad 0 \leqq r < m$$ となるから, $m$ の最小性により $r = 0,$ $a = mq$ となる. よって, $I = \langle m\rangle$ である.

(i), (ii) から, $I$ は単項イデアルである.

　前半の主張: 明らかである.
　後半の主張: 数学的帰納法で示す.

(i)

$n = 2$ のとき. 分配法則により $$(I_1+I_2)(I_1\cap I_2) = I_1(I_1\cap I_2)+I_2(I_1\cap I_2) \subset I_1I_2$$ が成り立つから, $I_1+I_2 = (1)$ のとき $I_1\cap I_2 = I_1I_2$ が成り立つ.

(ii)

$n > 2$ のとき. $I_1,$ $\cdots,$ $I_{n-1}$ に対して主張が成り立つとし, $$I = \prod_{k = 1}^{n-1}I_k = \bigcap_{k = 1}^{n-1}I_k$$ とおく. $I_k+I_n = (1)$ $(1 \leqq k \leqq n-1)$ であるから, $$x_k+y_k = 1$$ を満たす $x_k \in I_k,$ $y_k \in I_n$ が存在し, $$\prod_{k = 1}^{n-1}x_k = \prod_{k = 1}^{n-1}(1-y_k) \equiv 1 \pmod{I_n}$$ が成り立つ. よって, $I+I_n = (1)$ であるから, (i) の結果を利用すると $$\prod_{k = 1}^nI_k = II_n = I\cap I_n = \bigcap_{k = 1}^nI_k$$ が得られる.

(i), (ii) から, $2$ 以上のすべての整数 $n$ に対して求める主張が成り立つ.

(1)

$\varphi$ が全射であるとする. このとき, $0 = \varphi (0) \in \varphi (I)$ から $\varphi (I) \neq \varnothing$ である. また, $\varphi (I)$ の元 $a',$ $b',$ $A'$ の元 $c'$ は $a' = \varphi (a),$ $b' = \varphi (b),$ $c' = \varphi (c)$ $(a,$ $b,$ $c \in A)$ の形に表されるから, $$\begin{aligned} a'+b' &= \varphi (a)+\varphi (b) = \varphi (a+b) \in \varphi (I), \\ c'a' &= \varphi (c)\varphi (a) = \varphi (ca) \in \varphi (I) \end{aligned}$$ を満たす. よって, $\varphi (I)$ は $A'$ のイデアルである.

(2)

• $\varphi (0) = 0 \in I'$ により $0 \in \varphi ^{-1}(I')$ であるから, $\varphi ^{-1}(I') \neq \varnothing$
• $a,$ $b \in \varphi ^{-1}(I')$ ならば, $\varphi (a+b) = \varphi (a)+\varphi (b) \in I'$ となるから, $a+b \in \varphi ^{-1}(I')$
• $c \in A,$ $a \in \varphi ^{-1}(I')$ ならば, $\varphi (ca) = \varphi (c)\varphi (a) \in I'$ となるから, $ca \in \varphi ^{-1}(\mathfrak b)$

が成り立つから, $\varphi ^{-1}(I')$ は $A$ のイデアルである.

　$A/I$ は, $A$ の加法群の部分群 $I$ による剰余群として, 加法に関して可換群をなす (こちらを参照). $a+I = a'+I,$ $b+I = b'+I$ $(a,b,a',b' \in A)$ のとき, $I$ が $A$ のイデアルであることから $$a-a',\ b-b' \in I, \quad a(b-b'),\ (a-a')b' \in I$$ となり, $$ab-a'b' = a(b-b')+(a-a')b' \in I$$ したがって $ab+I = a'b'+I$ が得られるので, $A/I$ の乗法は代表の取り方によらないことに注意する. 乗法に関する結合法則, 単位元の存在, 交換法則は, 加法と同様に示される. 分配法則は, $$\begin{aligned} &(c+I)((a+I)+(b+I)) = (c+I)((a+b)+I) \\ &= c(a+b)+I = (ca+cb)+I \\ &= (ca+I)+(cb+I) = (c+I)(a+I)+(c+I)(b+I) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad (a,b,c \in A) \end{aligned}$$ と示される.

(1)

$\varphi (0) = 0 \in I'$ から $\varphi ^{-1}(I') \neq \varnothing$ である. また, $a,$ $b \in \varphi ^{-1}(I'),$ $c \in A$ のとき, $\varphi (a),$ $\varphi (b) \in I'$ から $$\begin{aligned} \varphi (a+b) &= \varphi (a)+\varphi (b) \in I', \\ \varphi (ca) &= \varphi (c)\varphi (a) \in I' \end{aligned}$$ となり, $a+b,$ $ca \in \varphi ^{-1}(I')$ となるから, $\varphi ^{-1}(I')$ は $A$ のイデアルである.

(2)

$S \neq \varnothing$ から $\varphi (S) \neq \varnothing$ である. また, $\varphi (S)$ の元 $a',$ $b'$ は $S$ の元 $a,$ $b$ を用いて $a' = \varphi (a),$ $b' = \varphi (b)$ と表され, よって $a'+b',$ $-a',$ $a'b'$ も $S$ の元 $a+b,$ $-a,$ $ab$ を用いて $$\begin{aligned} a'+b' &= \varphi (a)+\varphi (b) = \varphi (a+b), \\ -a' &= -\varphi (a) = \varphi (-a), \\ a'b' &= \varphi (a)\varphi (b) = \varphi (ab) \end{aligned}$$ と表されるから, $a'+b',$ $-a',$ $a'b' \in \varphi (S)$ となる. よって, $\varphi (S)$ は $A'$ の部分環である.

　$I = \mathrm{Ker}\,(\varphi )$ とおく. $A/I$ の元 $a+I,$ $b+I$ $(a,\ b \in A)$ に対して $$\begin{aligned} a+I = b+I &\iff a-b \in I \\ &\iff \varphi (a-b) = 0 \\ &\iff \varphi (a)-\varphi (b) = 0 \\ &\iff \varphi (a) = \varphi (b) \\ &\iff \bar\varphi (a+I) = \bar\varphi (b+I) \end{aligned}$$ が成り立つから, $a+I$ の値 $\bar\varphi (a+I) = \varphi (a)$ は $a+I$ の代表 $a$ のとり方によらず定まることに注意する.
　$A/I$ の元 $a+I,$ $b+I$ $(a,\ b \in A)$ に対して $$\begin{aligned} \bar\varphi ((a+I)+(b+I)) &= \bar\varphi ((a+b)+I) \\ &= \varphi (a+b) \\ &= \varphi (a)+\varphi (b) \\ &= \bar\varphi (a+I)+\bar\varphi (b+I), \\ \bar\varphi ((a+I)(b+I)) &= \bar\varphi (ab+I) \\ &= \varphi (ab) \\ &= \varphi (a)\varphi (b) \\ &= \bar\varphi (a+I)\bar\varphi (b+I) \end{aligned}$$ が成り立つから, $\bar\varphi$ は可換環の準同型である.
　$A/I$ の元 $a+I$ $(a \in A)$ に対して $$\begin{aligned} \bar\varphi (a+I) = 0 &\iff \varphi (a) = 0 \\ &\iff a \in I \\ &\iff a+I = I \end{aligned}$$ が成り立つから, $\bar\varphi$ は単射である.
　$\mathrm{Im}\,(\varphi )$ の各元 $a'$ は $A$ のある元 $a$ を用いて $$a' = \varphi (a) = \bar\varphi (a+I)$$ と表されるから, $\bar\varphi$ は全射である.
　以上により, $\bar\varphi$ は可換環の同型である.

　数学的帰納法で示す.

(i)

$n = 2$ のとき. $$f:A \to (A/I_1)\times (A/I_2);a \mapsto (a\bmod I_1,a\bmod I_2)$$ について, $$\mathrm{Ker}\,(f) = I_1\cap I_2 = I_1I_2$$ であり (右側の等号についてはこちらを参照), $x_1+x_2 = 1$ を満たす $x_1 \in I_1,$ $x_2 \in I_2$ をとると $a_1,$ $a_2 \in A$ に対して $$a_2x_1+a_1x_2 = a_1+(a_2-a_1)x_1 = a_2+(a_1-a_2)x_2$$ よって $$f(a_2x_1+a_1x_2) = (a_1\bmod I_1,a_2\bmod I_2)$$ となるから $f$ は全射である. したがって, 準同型定理により $$A/(I_1I_2) = A/(I_1\cap I_2) \cong (A/I_1)\times (A/I_2)$$ が成り立つ.

(i)

$n > 2$ のとき. $I_1,$ $\cdots,$ $I_{n-1}$ に対して主張が成り立つとする. このとき, $\prod _{k = 1}^{n-1}I_k,$ $I_n$ が互いに素であることに注意すると (こちらを参照), $$\begin{aligned} A/\prod _{k = 1}^nI_k &= A/\left(\prod _{k = 1}^{n-1}I_k\cdot I_n\right) \\ &\cong \left( A/\prod _{k = 1}^{n-1}I_k\right)\times (A/I_n) \\ &\cong \prod_{k = 1}^{n-1}(A/I_k)\times (A/I_n) \\ &= \prod_{k = 1}^n(A/I_k) \end{aligned}$$ が得られる.

(i), (ii) から, $2$ 以上のすべての整数 $n$ に対して求める主張が成り立つ.

(1)

定義により,

$\mathfrak p$ は $A$ の素イデアル

$\iff$ “$ab \in \mathfrak p$ $\Longrightarrow$ ‘$a \in \mathfrak p$ または $b \in \mathfrak p$’” $(a,\ b \in A)$

$\iff$ “$ab+\mathfrak p = 0+\mathfrak p$ $\Longrightarrow$ ‘$a+\mathfrak p = 0+\mathfrak p$ または $b+\mathfrak p = 0+\mathfrak p$’” $(a,\ b \in A)$

$\iff$ $A/\mathfrak p$ は整域

が成り立つ.

(2)

命題《剰余環のイデアル》により,

$\mathfrak m$ は極大イデアル

$\iff$ $\mathfrak m$ を含む $A$ のイデアルは $\mathfrak m,$ $A$ に限る

$\iff$ $A/\mathfrak m$ のイデアルは自明なイデアルに限る

$\iff$ $A/\mathfrak m$ は体

が成り立つ.

(3)

体は整域であるから,

$\mathfrak m$ は極大イデアル

$\iff$ $A/\mathfrak m$ は体

$\;\,\Longrightarrow\;\,$ $A/\mathfrak m$ は整域

$\iff$ $\mathfrak m$ は素イデアル

が成り立つ.

　こちらを参照.