地面に $3$ 本の棒が立てられており, そのうちの $1$ 本に穴の開いた半径の異なる円盤が半径の大きい順に通されている. $1$ 本の棒の最も上にある $1$ 枚を別の棒の最も上に移す操作を $1$ 手と数え, $1$ 本の棒の最も上にある $n$ 枚を別の棒の最も上に移すための手数の最小値を $a_n$ とおく. ただし, いずれの段階においても小さい円盤の上に大きい円盤は置かないとする.

(1)

すべての正の整数 $n$ に対して $a_{n+1} = 2a_n+1$ が成り立つことを説明せよ.

(2)

数列 $\{ a_n\}$ の一般項を求めよ.