方程式 \[ y^2 = \frac{1}{6}x(x+1)(2x+1) \quad \cdots [*]\] の正の整数解 $(x,y)$ について, 次の問いに答えよ.

(1)

$x,$ $x+1,$ $2x+1$ はどの $2$ つも互いに素であることを示せ.

(2)

$5$ 以上の各素数 $p$ に対して, $x,$ $x+1,$ $2x+1$ が $p$ で割り切れる回数はいずれも偶数 ($0$ を含む) であることを示せ.

(3)

$[*]$ の $(x,y) = (1,1)$ 以外の正の整数解で $x$ が最小のものを求めよ.

　$n$ を正の整数とする. $n^2$ 以上 $n^2+2n$ 以下の $2n+1$ 個の正の整数について, 等式 \[ n^2+\cdots +(n^2+n) = (n^2+n+1)+\cdots +(n^2+2n)\] が成り立つことを示せ.

　地面に $3$ 本の棒が立てられており, そのうちの $1$ 本に穴の開いた半径の異なる円盤が半径の大きい順に通されている. $1$ 本の棒の最も上にある $1$ 枚を別の棒の最も上に移す操作を $1$ 手と数え, $1$ 本の棒の最も上にある $n$ 枚を別の棒の最も上に移すときの手数の最小値を $a_n$ とおく. ただし, いずれの段階においても小さい円盤の上に大きい円盤は置かないものとする.

(1)

すべての正の整数 $n$ に対して $a_{n+1} = 2a_n+1$ であることを説明せよ.

(2)

数列 $\{ a_n\}$ の一般項を求めよ.