有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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 ホームページをご覧いただきありがとうございます. ここでは主な更新履歴のみを公開しています. 改善のために, 更新履歴への掲載なく, 若干の変更を加える場合があります. 毎日 $1$ つの命題の証明を目標に, 何らかの更新を行っています (「有名問題・定理から学ぶ高校数学」の問題以外の更新もあり, 日曜日を除く).

更新履歴 (2024 年前半, 新着順)

お知らせ

06/10
本格数学クイズの公開を始めてから $1$ 周年を迎えました. こちらは平凡な算数クイズではなく, クイズ選手権で時々出題されるような高校数学の知識を使って解く本格派クイズです. 日常に潜む素朴で興味深い問題を中心に出題しています. 大学入試で誘導問題として出題されるレベルのものも多数ありますが, 解く楽しさを味わっていただくために, あえて誘導は付けていません. 毎週金曜日にアップしているので, ぜひ力試しに解いてみてください.

有名問題・定理から学ぶ高校数学

06/29
$3$ 倍角の公式《$\cos (\pi /9)$ を解にもつ $3$ 次方程式》**加筆
06/27
不等式の証明《並べ替えと相加・相乗平均の不等式》***加筆
06/26
不等式の証明《チェビシェフの和の不等式》***加筆
06/25
不等式の証明《チェビシェフの和の不等式》***加筆
06/24
不等式の証明《並べ替えと相加・相乗平均の不等式》***加筆
06/13
比例式《シュケの不等式》*小問追加
06/12
比例式《シュケの不等式》*加筆
06/11
比例式《シュケの不等式》*加筆
05/20
三角関数の加法定理《余接の和の範囲》***加筆
05/16
三角関数の加法定理《余接の和の範囲》***加筆
05/15
区分求積法《メルカトル級数とその項の並べ替え》**加筆
05/09
合成関数・逆関数《マチンの公式》**加筆
05/08
複素数の極形式《複素数の偏角とマチンの公式》**続き
05/07
複素数の極形式《複素数の偏角とマチンの公式》**
05/06
合成関数・逆関数《マチンの公式》**加筆
04/30
$2$ 点間の距離《シュタインハウスの問題》**加筆
04/29
$2$ 点間の距離《シュタインハウスの問題》**加筆
04/15
ベクトル方程式《ねじれの位置にある $2$ 直線に直交する直線》**図の追加
04/13
高次方程式《カルダーノによる $3$ 次方程式の解法》***加筆
04/10
ベクトル方程式《ねじれの位置にある $2$ 直線に直交する直線》**加筆
04/09
ベクトル方程式《ねじれの位置にある $2$ 直線に直交する直線》**
04/04
複素数の極形式《正多角形の辺と対角線の長さの積》**加筆
04/03
期待値《袋から取り出される白玉の個数の期待値》***別解
04/02
期待値《袋から取り出される白玉の個数の期待値》***加筆
03/27
階差数列《シュタイナーの平面・空間の分割問題》***加筆
03/25
余事象の確率《じゃんけんであいこになる確率》**加筆
03/23
整数の剰余《フェルマーの小定理と RSA 暗号系の原理》***別解
03/12
平均値の定理《イェンゼンの不等式とその応用》***加筆
03/11
直線《$3$ 円の根心》**加筆
02/29
高次方程式《有理根定理と累乗根の無理性》**別解
02/22
不定積分《逆関数の不定積分》**続き
02/21
不定積分《逆関数の不定積分》**小問追加
02/20
不定積分《逆関数の不定積分》**小問追加
02/19
不定積分《逆関数の不定積分》**
02/17
期待値の線形性《ポリアの壺の中の白玉の個数の期待値》**加筆
02/15
期待値の線形性《ポリアの壺の中の白玉の個数の期待値》**
02/14
期待値《袋から取り出される白玉の個数の期待値》***加筆
02/13
期待値《袋から取り出される白玉の個数の期待値》***
02/12
微分法による不等式の証明《階乗数である最大の高度合成数》****別解
02/10
微分法による不等式の証明《階乗数である最大の高度合成数》****改題
02/08
微分法による不等式の証明《階乗数である最大の高度合成数》****続き
02/07
微分法による不等式の証明《階乗数である最大の高度合成数》****続き
02/06
微分法による不等式の証明《階乗数である最大の高度合成数》****
02/05
指数関数《指数関数を含む不等式と高度合成数》**加筆
02/03
不等式の証明《コーシー=シュワルツの不等式と三角形の類似重心の特徴付け》***図の追加
02/01
不等式の証明《コーシー=シュワルツの不等式と三角形の類似重心の特徴付け》***続き
01/31
不等式の証明《コーシー=シュワルツの不等式と三角形の類似重心の特徴付け》***続き
階差数列《円周による平面の分割》**加筆
01/30
不等式の証明《コーシー=シュワルツの不等式と三角形の類似重心の特徴付け》***
01/29
階差数列《円周による平面の分割》**加筆
01/27
階差数列《円周による平面の分割》**加筆
01/25
方べきの定理《三角形の類似中線の作図法》****続き
01/24
方べきの定理《三角形の類似中線の作図法》****続き
01/23
方べきの定理《三角形の類似中線の作図法》****図の追加
01/22
方べきの定理《三角形の類似中線の作図法》****
01/20
チェヴァの定理《シュタイナーの比の定理と三角形の類似重心》**図の追加
01/19
チェヴァの定理《シュタイナーの比の定理と三角形の類似重心》**続き
01/18
チェヴァの定理《シュタイナーの比の定理と三角形の類似重心》**
01/16
いろいろな無限級数《クーポン・コレクターの問題の期待値》**加筆
01/15
いろいろな無限級数《クーポン・コレクターの問題の期待値》**加筆
01/13
いろいろな無限級数《クーポン・コレクターの問題の期待値》**
01/11
和事象の確率《ブールの不等式とボンフェローニの不等式》**
01/10
チェヴァの定理《三角形に関する等角共役点》**図の追加
01/09
ベクトルの内積《内積の不等式と三角形のフェルマー点》***加筆
01/08
チェヴァの定理《三角形に関する等角共役点》**加筆
01/06
チェヴァの定理《三角形に関する等角共役点》**加筆
01/04
チェヴァの定理《三角形に関する等角共役点》**加筆
01/03
チェヴァの定理《三角形に関する等角共役点》**加筆
01/02
チェヴァの定理《三角形に関する等角共役点》**
01/01
チェヴァの定理《三角形に関する等長共役点》**加筆

高校数学の教科書の補足

04/11
『指数関数』「実数の $0$ 乗と負の数乗」
03/30
『関数』「恒等式, 方程式」
03/04
『不等式の証明』「相加平均, 相乗平均,調和平均」加筆
03/02
『不等式の証明』「相加平均, 相乗平均,調和平均」
02/28
『集合』「ド・モルガンの法則」
02/27
『組分け』「同じものを含む順列の公式」別証明
02/26
『組分け』「同じものを含む順列の公式」
02/24
『組分け』「重複組合せの公式」

数学一般の理論

06/20
『環』「環の準同型の核, 像」続き
06/19
『環』「環の準同型の核, 像」
06/18
『環』「環の準同型の合成」
06/15
『環』「環の準同型」
06/10
『フェルマーの小定理』「フェルマーの小定理」別証明
06/06
『群』「群の直積, 直和の部分群」続き
06/05
『群』「群の直積, 直和」続き
06/04
『群』「群の直積, 直和の部分群」
06/03
『群』「群の直積,直和」
06/01
『群』「可解群」続き
05/30
『群』「可解群」
05/29
『群』「コーシーの定理」
05/28
『群』「類等式」
05/27
『群』「群の中心」
05/25
『群』「正規化群」
05/23
『群』「原始根の存在」
05/22
『群』「素数位数の群」
05/21
『群』「巡回群の部分群, 剰余群」
05/17
『群』「巡回群」
05/14
『群』「群の第 $3$ 同型定理」
05/13
『群』「群の第 $2$ 同型定理」
05/11
『群』「群の第 $1$ 同型定理」
05/04
『群』「群の準同型の核, 像」
05/03
『格子点を含む円』「シンゼルの定理」
05/02
『群』「群の準同型の合成」
04/25
『群』「群の準同型」
04/24
『群』「剰余群」
04/23
『群』「正規部分群」
04/22
『群』「ラグランジュの定理」
04/20
『群』「左側剰余類, 右側剰余類」
04/18
『$4$ 次方程式の解の公式』「フェラーリの解法」加筆
04/17
『$3$ 次方程式の解の公式』「カルダーノの解法」加筆
04/16
『$4$ 次方程式の解の公式』「フェラーリの解法」加筆
04/08
『導多項式』「分離多項式の特徴付け」修正, 加筆
04/06
『既約多項式』「最小多項式」
04/01
『環』「整数倍, べき乗の計算法則」加筆
03/28
『環』「整数倍, べき乗の計算法則」
03/21
『環』「環の演算の性質」加筆
03/20
『環』「二項定理」
03/19
『環』「環の演算の性質」
03/18
『体の代数拡大』「体の拡大における有限性の連鎖」
03/16
『導多項式』「分離多項式の特徴付け」
03/14
『体の代数拡大』「分解体の存在」
03/12
『体の代数拡大』「代数学の基本定理」
03/09
『群』「元の位数の性質」加筆
03/07
『群』「部分群の共通部分」
03/06
『対称式・交代式』「一般 $n$ 次方程式の解の公式の存在条件」
03/05
『環』「環の標数」

数学クイズ

06/28
整数論《出席番号の和》
06/22
不等式《積の和の最大値》加筆
06/21
不等式《積の和の最大値》
06/17
数列《$1$ 人飛ばしの継子立て》図の追加, 加筆
06/14
数列《$1$ 人飛ばしの継子立て》
06/08
確率論《テニスの勝率》加筆
06/07
確率論《テニスの勝率》
05/31
組合せ論《公平にものを分配する方法》
05/24
数列《$3$ 辺の長さが等差数列をなす直角三角形》
05/17
解析幾何学《正接の和の最小値》
05/10
数列《正四面体の辺上のランダム・ウォーク》
05/03
微分法《円錐形の容器の容積の最大化》
04/27
解析幾何学《楕円に内接する三角形》加筆
04/26
解析幾何学《楕円に内接する三角形》
04/19
確率論《破産の確率》
04/12
整数論《累乗の差》
04/05
積分法《パイプの共通部分の体積》
03/29
組合せ論《ケーキ数》
03/26
整数論《完全数》加筆
03/22
整数論《完全数》
03/15
初等幾何学《正多角形の辺と対角線の長さの総和》
03/08
整数論《辺長が等差数列をなすヘロンの三角形》
03/01
数列《ハノイの塔》小問追加
02/23
極限《方眼の中の長方形》
02/16
数列《ハノイの塔》
02/09
確率論《ポリアの壺》
02/03
微分積分学《長方形の辺長の比の極限値》図の追加
02/02
微分積分学《長方形の辺長の比の極限値》
01/27
離散幾何学《円を用いたヴェン図の限界》加筆
01/26
離散幾何学《円を用いたヴェン図の限界》
01/17
確率論《さいころですべての目を出すまでにかかる回数》
01/12
微分積分学《紙が重なった部分の面積の最小値》
01/05
離散幾何学《正方形の頂点を結ぶ最短経路》

数学資料集

06/29
『特別な意味をもつ整数』$23760$
06/28
『特別な意味をもつ整数』$864$
06/27
『特別な意味をもつ整数』$3564288$
06/26
『特別な意味をもつ整数』$64584$
06/25
『特別な意味をもつ整数』$2016$
06/24
『特別な意味をもつ整数』$459818240$
06/22
『特別な意味をもつ整数』$30240$
06/21
『特別な意味をもつ整数』$8855$
06/20
『特別な意味をもつ整数』$3$: 加筆
06/19
『特別な意味をもつ整数』$35$
06/18
『特別な意味をもつ整数』$41041$
06/17
『特別な意味をもつ整数』$945$: 加筆
06/15
『未解決問題』奇数の不思議数
06/14
『未解決問題』準完全数
06/13
『未解決問題』調和数: 加筆
06/12
『特別な意味をもつ整数』$140$
06/11
『未解決問題』オッパーマンの予想
06/10
『未解決問題』アンドリカの予想
06/08
『数表』$4$ 個の平方数の和
06/07
『数表』$3$ 個の平方数の和
06/06
『数表』$2$ 個の平方数の和
06/05
『数表』$n$ 通りの表示をもつ $4$ 個の平方数の和
06/04
『数表』$n$ 通りの表示をもつ $3$ 個の平方数の和
06/03
『数表』$n$ 通りの表示をもつ $2$ 個の平方数の和
06/01
『特別な意味をもつ整数』$30$
05/31
『特別な意味をもつ整数』$59536$
05/30
『数表』ヴァルディの定数
05/29
『数表』ミルズの定数
05/28
『数表』トリボナッチ定数
05/27
『数表』白銀数
05/25
『数表』逆フィボナッチ定数
05/24
『数表』超白銀数
05/23
『数表』超黄金数
05/22
『特別な意味をもつ整数』$216$
05/21
『特別な意味をもつ整数』$836$, $7192$
05/20
『特別な意味をもつ整数』$7$: 加筆
05/18
『特別な意味をもつ整数』$105$: 加筆
05/17
『特別な意味をもつ整数』$127$
05/16
『有名な数学者』フロベニウス, ヘルダー, シェルピンスキー
05/15
『有名な数学者』ハーセ, ホッジ, カラビ
05/14
『有名な数学者』レフシェッツ, ポリア, モーデル
05/13
『有名な数学者』ヤング, ミンコフスキー, ベル
05/11
『有名な数学者』リュカ, マルコフ, イェンセン
05/10
『有名な数学者』チェビシェフ, リプシッツ, ジョルダン
05/09
『有名な数学者』ヘッセ, カタラン, シルヴェスター
05/08
『有名な数学者』ラプラス, ジェルマン, ポアソン
05/07
『有名な数学者』ダランベール, ランベルト, モンジュ
05/06
『有名な数学者』スチュワート, アネェージ, シュタイナー
05/04
『有名な数学者』テイラー, スターリング, マクローリン
05/03
『特別な意味をもつ整数』$105$
05/02
『有名な数学者』メルセンヌ, グレゴリー, ロル
05/01
『有名な数学者』ド・モアヴル, ド・モルガン
04/30
『未解決問題』単位球による遮光雲の厚み
04/29
『未解決問題』帯に円を詰め込むときの密度
04/27
『未解決問題』三角形の中の三角形
04/26
『未解決問題』シェーンベルクの有理多角形問題
04/25
『未解決問題』一般の位置にある点を結ぶ多角形
04/24
『未解決問題』ハーボースの予想
04/23
『未解決問題』体積が最小の 3 次元定幅図形
04/22
『有名な数学者』タレス, ピタゴラス, テアイトスユークリッド
04/20
『有名な数学者』エラトステネス, アルキメデスアポロニウス
04/19
『有名な数学者』トレミー, ディオファントス, パップス
04/18
『未解決問題』ギルブレス予想
04/17
『未解決問題』等比数列の小数部分の一様分布性
04/16
『公式集』複素数平面, 式と曲線
04/15
『公式集』積分法, ベクトル
04/13
『未解決問題』擬似レプタイルの問題
04/12
『未解決問題』ジェスマノヴィッチ予想
04/11
『公式集』関数・極限, 微分法
04/10
『公式集』微分法・積分法, 数列
04/09
『公式集』三角関数, 指数関数・対数関数
04/08
『公式集』複素数と方程式, 図形と方程式
04/06
『公式集』図形の性質, 式と証明
04/05
『公式集』確率, 整数の性質 (数学と人間の活動)
04/04
『公式集』データの分析, 場合の数
04/03
『公式集』$2$ 次関数, 図形と計量
04/02
『公式集』数と式, 論理と集合
04/01
『特別な意味をもつ整数』$1$: 加筆
03/30
『特別な意味をもつ整数』$12$: 加筆
03/29
『特別な意味をもつ整数』$7$: 加筆
03/28
『有名な数学者』ヘロン, メネラウス, チェヴァ
03/27
『有名な数学者』ブラーマグプタ
03/26
『有名な数学者』フワーリズミー
03/25
『有名な数学者』バースカラ 2 世, フィボナッチ
03/23
『有名な数学者』マーダヴァ
03/22
『有名な数学者』関孝和
03/21
『有名な数学者』ドリーニュ, サーストン, コンヌ
03/20
『有名な数学者』ボンビエリ, セメレディ, グロモフ
03/19
『有名な数学者』トンプソン, ラングランズ, メイザー
03/18
『有名な数学者』ティッツ, ミルナー, 廣中平祐
03/16
『有名な数学者』グロタンディーク, ナッシュ, 志村五郎
03/15
『有名な数学者』テイト, セール, 谷山豊
03/14
『有名な数学者』小平邦彦, セルバーク, 岩澤健吉
03/13
『有名な数学者』岡潔, チューリング, 伊藤清
03/12
『有名な数学者』ゲーデル, ヴェイユ, マックレーン
03/11
『有名な数学者』タルスキ, コルモゴロフ, ノイマン
03/09
『未解決問題』空間の非周期充填
03/08
『未解決問題』単位正方形への円の詰め込み
03/07
『未解決問題』正方形への単位正方形の詰め込み
03/06
『未解決問題』空間充填可能な凸多面体の面数
03/05
『未解決問題』空間充填可能な四面体
03/04
『未解決問題』ハドヴィガー=ネルソンの問題
03/02
『未解決問題』レプ・タイルの問題
03/01
『未解決問題』図形を被覆する円の半径
02/29
『未解決問題』半円・半球の最密充填
02/28
『未解決問題』被覆密度が最大の凸体
02/27
『未解決問題』充填密度が最小の凸体
02/26
『未解決問題』ゴールマハティヒ予想
02/24
『未解決問題』カーマイケル予想
02/23
『未解決問題』約数の和が素数である整数
02/22
『未解決問題』掛谷の問題の派生版
02/21
『未解決問題』素数階乗素数
02/20
『未解決問題』ルパート王子の問題の一般化: 加筆
02/19
『未解決問題』ルパート王子の問題の一般化
02/17
『未解決問題』アルティン予想
02/16
『未解決問題』郵便切手問題
02/15
『未解決問題』切手折り問題
02/14
『数表』ベルヌーイ数
02/13
『数表』第 $2$ 次オイラー数
02/12
『数表』第 $1$ 次オイラー数
02/10
『未解決問題』等差数列に関するエルデシュ予想
02/09
『未解決問題』ガウスの円問題
02/08
『特別な意味をもつ整数』$697$
02/07
『特別な意味をもつ整数』$117$
02/06
『特別な意味をもつ整数』$6876$, $18144$
02/05
『特別な意味をもつ整数』$6384$, $8064$
02/03
『特別な意味をもつ整数』$15$: 加筆, $290$
02/02
『未解決問題』魔方陣の個数
『特別な意味をもつ整数』$1$: 加筆, $880$, $275305224$
02/01
『数表』三角形の周による平面の分割数
01/31
『数表』球面による空間の分割数
01/30
『数表』楕円の周による平面の分割数
01/29
『数表』円周による平面の分割数
01/27
『特別な意味をもつ整数』$16$: 加筆, $288$
01/26
『有名な数学者』アルティン, ザリスキ
01/25
『有名な数学者』ネーター, ラマヌジャン, バナッハ
01/24
『有名な数学者』ルベーグ, ハーディ, ブラウワー
01/23
『有名な数学者』クライン, リンデマン, 高木貞治
01/22
『有名な数学者』ハミルトン, ブール, ケイリー
01/20
『有名な数学者』フーリエ, ポンスレ, ロバチェフスキー
01/19
『有名な数学者』カルダーノ, フェラーリ, ヴィエト,
ヤコブ・ベルヌーイ
01/18
『有名な数学者』ネイピア, デザルグ, ヨハン・ベルヌーイ
01/17
『有名な数学者』ペアノ, ヒルベルト, ラッセル
01/16
『有名な数学者』デーデキント, カントール, ポアンカレ
01/15
『有名な数学者』ヴァイエルシュトラス, クロネッカー, リーマン
01/13
『有名な数学者』リウヴィル, クンマー, ガロア
01/12
『有名な数学者』パスカル, アーベル, ヤコビ, ディリクレ
01/11
『有名な数学者』ラグランジュ, ルジャンドル, コーシー
01/10
『有名な数学者』デカルト,
フェルマー, ニュートン, ライプニッツ,
オイラー, ガウス
01/09
『記号』「アルファベット (さまざまな書体)」
01/08
『特別な意味をもつ整数』$945$
01/06
『特別な意味をもつ整数』$6$: 加筆
01/05
『特別な意味をもつ整数』$5$, $15$: 加筆
01/04
『特別な意味をもつ整数』$163$
01/03
『数表』カーマイケルの $\lambda$ 関数
01/02
『数表』オイラーの $\varphi$ 関数
01/01
『特別な意味をもつ整数』$10$: 加筆

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01/09
数学資料集のカラー化
01/08
微分演算子の表示の改善
01/06
約物の表示の改善

YouTube

2023/07/06
動画「ペル方程式の解の公式」を公開

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