有名問題・定理から学ぶ数学

今週 (12/09～12/15) の問題 (高校数学)

問題《$nr^n$ の無限和と硬貨を投げる回数の期待値》

(1): $0 < r < 1$ とする. 無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty nr^n$ の和を求めよ. $\lim\limits_{n \to \infty}nr^n = 0$ であること (こちらを参照) は証明なしに使ってよい.
(2): $1$ 枚の硬貨を $n$ 回投げるとき, $n$ 回目に初めて表が出る確率を $p_n$ とおく. 無限級数 $\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty np_n$ の和を求めよ.

標準素朴$2021/09/13$$2022/06/13$

解答例

　こちらを参照.

お知らせ

2024/12/10: このホームページから生まれた「角の有理二等分問題」と「一般ペル方程式の解の公式」に関する論文 “General Pell's equations and angle bisectors between planar lines with rational slopes” (査読あり) がアメリカの数学ジャーナル Integers に掲載されました. 無料でご覧いただけます.

　『高校数学至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』が, エール出版社から好評発売中です (2022 年 5 月出版). このページから, 特に重要な問題を厳選しました.

場当たり的な問題ではなく明確な動機をもつ “ 有名問題 ” のみから高校数学の主要なテーマを深く学ぶことができるという構成
大学入試後を見据えた問題の背景の詳しい解説

に大きな特長がある, 高校数学の本格派問題集です. 全国の書店や, Amazon, 楽天ブックスなどのオンライン・ストアでお求めいただけます.

2024/12/04: 論文『General Pell's equations and angle bisectors between planar lines with rational slopes』がアメリカの数学電子ジャーナル Integers に受理されました.
2024/11/01: プレプリント Rational angle bisectors on the coordinate plane and solutions of Pell's equationsの改訂版が公開になりました (一般ペル方程式の解の公式の主張, 証明が簡略化できました).
2024/06/10: 本格数学クイズの公開を始めてから $1$ 周年を迎えました. こちらは平凡な算数クイズではなく, クイズ選手権で時々出題されるような高校数学の知識を使って解く本格派クイズです. 日常に潜む素朴で興味深い問題を中心に出題しています. 大学入試で誘導問題として出題されるレベルのものも多数ありますが, 解く楽しさを味わっていただくために, あえて誘導は付けていません. 毎週金曜日にアップしているので, ぜひ力試しに解いてみてください.
2023/12/20: 「日曜数学 Advent Calendar $2023$」の $20$ 日目の記事として『格子点を通る直線・角の二等分線とペル方程式』という記事を公開しました. 昨年の結果を拡張した新定理についてです. 前半は高校生でも読める内容, 後半は専門家でも読み応えのある深い内容なので, ぜひご覧ください.
2023/08/01: 問題集『高校数学至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』の活用方法に関する記事「問題研究のすすめ: 過去問研究の一歩先へ」を公開しました.
2023/07/06: YouTube で動画「ペル方程式の解の公式」を公開しました.
2023/02/28: YouTube で動画「ペル方程式の解の有無」を公開しました.
2023/01/25: YouTube で動画「ペル方程式とその応用」を公開しました.
2022/12/20: 「日曜数学 Advent Calendar $2022$」の $20$ 日目の記事として『角の二等分線に関する不定方程式とペル方程式の解』という記事を公開しました. 古典的ですが, 今年発見した新定理についてです. 高校生でも読める内容なので, ぜひご覧ください.
2022/05/02: 『高校数学至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』がエール出版社から発売になりました (オンライン・ストア: 5 月 4 日, 書店: ゴールデン・ウィーク明け). 定理の証明問題や, 特別な意味をもつ問題に特化した問題集です. 何の変哲もない計算問題を修行のように解くだけの問題演習から抜け出して, 一歩先のより本質的な問題を解くことで, 数学的センスを磨き, 真の実力をつけることができます. 全国の書店や, Amazon (こちら), 楽天ブックス (こちら) などのオンライン・ストアでお求めいただけます.
2022/04/26: 2022 年 5 月上旬,『高校数学至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』がエール出版社から発売になります. 受験生待望の“有名問題”からなる本格派問題集です. ホームページの問題集「有名問題・定理から学ぶ高校数学」から, 特に重要な問題を厳選しました. ただ今, Amazonで予約受付中です.
2022/04/12: ホームページのレイアウトを改善しました. これから 1 か月ほどかけて, サイドバーを含め, 各ページの改訂を行う予定です.
2022/04/05: 現行課程, 新課程のどちらでも使用できるように, 分野ごとに単元を並べ替えました. 新数学 A の「数学と人間活動」, 新数学 C の「数学的な表現の工夫」の内容は, 随所に散りばめられています.
2021/07/22: 課題学習のテーマをまとめました (こちらを参照). 随時更新していく予定です.
2021/02/03: 本日, 一般向けの書籍『偉大な定理に迫る！理系脳を鍛える数学クイズ』が発売になりました. 興味深い数学の話題が盛りだくさんなので, ぜひご覧ください. 全国の書店や, Amazonなどのオンライン・ストアでお求めいただけます.
2020/12/02: サイトの移転を行いました (もとのサイトから瞬時に自動転送されています). ドメインが「compassare.org」から「wkmath.org」に変わり, サイト名も「有名問題・定理から学ぶ数学」に変わりました. ブックマークに保存している方は, 再登録をお願いします.

有名問題・定理から学ぶ高校数学

　人類共通の問題と言えるような, 数学的価値の高い由緒ある「有名問題」から, 効率よく数学の本質を学べるような問題集の作成を目指しています.

数Ⅰ: 正弦定理《チャップル=オイラーの定理》***
数Ａ: $1$ 次不定方程式《$1$ 次不定方程式とイデアル》***
数Ⅱ: 高次方程式《目盛付き定規が使える場合の立方体倍積問題》**
数Ｂ: 階差数列・べき乗和の公式《モーザーの円の分割問題》***
数Ⅲ: 面積・置換積分・部分積分《円柱につながれたヤギの問題》***

※特におすすめの問題です. 問題の一覧は, こちらをご覧ください.

有名問題・定理から学ぶ数学

Well-Known Problems and Theorems in Mathematics

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