有名問題・定理から学ぶ数学

今週 (06/16～06/22) の問題 (高校数学)

問題《方べきの定理》

　定点 $\mathrm O$ を通る直線 $l$ と点 $\mathrm C$ を中心とする半径 $r$ の円周の $2$ つの共有点を $\mathrm P,$ $\mathrm Q$ とおく ($l$ と円周 $\mathrm C$ が接するときは, $\mathrm P = \mathrm Q$ と考える). $\vec c = \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とおき, $l$ に平行な単位ベクトル $\vec e$ をとって, $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = p\vec e,$ $\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = q\vec e$ ($p,$ $q$: 実数) とおく.

(1): $p,$ $q$ を解にもつ $2$ 次方程式の $1$ つを, $r,$ $|\vec c|,$ $\vec c\cdot\vec e$ を使って表せ.
(2): $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$ の値は直線 $l$ の向きによらず一定であることを示せ.

実戦定理$2019/06/13$$2022/08/01$

解答例

　こちらを参照.

お知らせ

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2023/12/20: 「日曜数学 Advent Calendar $2023$」の $20$ 日目の記事として『格子点を通る直線・角の二等分線とペル方程式』という記事を公開しました. 昨年の結果を拡張した新定理についてです. 前半は高校生でも読める内容, 後半は専門家でも読み応えのある深い内容なので, ぜひご覧ください.
2023/08/01: 問題集『高校数学至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』の活用方法に関する記事「問題研究のすすめ: 過去問研究の一歩先へ」を公開しました.
2023/07/06: YouTube で動画「ペル方程式の解の公式」を公開しました.
2023/02/28: YouTube で動画「ペル方程式の解の有無」を公開しました.
2023/01/25: YouTube で動画「ペル方程式とその応用」を公開しました.
2022/12/20: 「日曜数学 Advent Calendar $2022$」の $20$ 日目の記事として『角の二等分線に関する不定方程式とペル方程式の解』という記事を公開しました. 古典的ですが, 今年発見した新定理についてです. 高校生でも読める内容なので, ぜひご覧ください.
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2022/04/26: 2022 年 5 月上旬,『高校数学至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』がエール出版社から発売になります. 受験生待望の“有名問題”からなる本格派問題集です. ホームページの問題集「有名問題・定理から学ぶ高校数学」から, 特に重要な問題を厳選しました. ただ今, Amazonで予約受付中です.
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