有名問題・定理から学ぶ数学

今週 (07/14～07/20) の問題 (高校数学)

問題《多変数のコーシー=シュワルツの不等式》

　$n$ を $2$ 以上の整数, $x_1,$ $\cdots,$ $x_n,$ $y_1,$ $\cdots,$ $y_n$ を実数とする. すべての実数 $t$ に対して $t$ の $2$ 次不等式 \[ (tx_1-y_1)^2+\cdots +(tx_n-y_n)^2 \geqq 0\] が成り立つことから, 不等式 \[ (x_1y_1+\cdots +x_ny_n)^2 \leqq (x_1{}^2+\cdots +x_n{}^2)(y_1{}^2+\cdots +y_n{}^2)\] が成り立つことを示せ. また, 等号成立条件を求めよ.

標準定理$2018/06/05$$2022/05/21$

解答例

　こちらを参照.

お知らせ

2025/06/24: 本日,『初学者のために何度も書き直した基礎からの「ガロア理論」—初歩の概念から最新の応用までをていねいに解説』が発売になりました.
2025/06/12: 2025 年 6 月下旬,『初学者のために何度も書き直した基礎からの「ガロア理論」—初歩の概念から最新の応用までをていねいに解説』が, 日本能率協会マネジメントセンターから発売になります. 高校数学 (文系) 程度の知識で読み始められる, 線形代数学や群論などの予備知識を必要とせずに 1 冊で代数学の基礎からガロア理論の本論までを学べる (重要な証明の省略は原則なし), 2 色刷りの行間を埋める参考書スタイルの解説といった特長があります. また, 近年解決した角の有理二等分問題についても付録に概説を掲載しました. Amazon, 楽天ブックスなどで予約受付中です.
2024/12/10: このホームページから生まれた「角の有理二等分問題」と「一般ペル方程式の解の構造」に関する論文 “General Pell's equations and angle bisectors between planar lines with rational slopes” (査読あり) がアメリカの数学ジャーナル Integers に掲載されました. 無料でご覧いただけます.

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場当たり的な問題ではなく明確な動機をもつ “ 有名問題 ” のみから高校数学の主要なテーマを深く学ぶことができるという構成
大学入試後を見据えた問題の背景の詳しい解説

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2024/12/18: 「日曜数学 Advent Calendar $2024$」の $18$ 日目の記事として『ミニチュア理論 (格子点の幾何学)』という記事を公開しました. 初等的ですが, 近年新しく得られた概念, 定理についてです. 大部分が高校生でも読める内容なので, ぜひご覧ください.
2024/12/04: 論文『General Pell's equations and angle bisectors between planar lines with rational slopes』がアメリカの数学ジャーナル Integers に受理されました.
2024/06/10: 本格数学クイズの公開を始めてから $1$ 周年を迎えました. こちらは平凡な算数クイズではなく, クイズ選手権で時々出題されるような高校数学の知識を使って解く本格派クイズです. 日常に潜む素朴で興味深い問題を中心に出題しています. 大学入試で誘導問題として出題されるレベルのものも多数ありますが, 解く楽しさを味わっていただくために, あえて誘導は付けていません. 毎週金曜日にアップしているので, ぜひ力試しに解いてみてください.
2023/12/20: 「日曜数学 Advent Calendar $2023$」の $20$ 日目の記事として『格子点を通る直線・角の二等分線とペル方程式』という記事を公開しました. 昨年の結果を拡張した新定理についてです. 前半は高校生でも読める内容, 後半は専門家でも読み応えのある深い内容なので, ぜひご覧ください.
2023/08/01: 問題集『高校数学至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』の活用方法に関する記事「問題研究のすすめ: 過去問研究の一歩先へ」を公開しました.
2023/07/06: YouTube で動画「ペル方程式の解の公式」を公開しました.
2023/02/28: YouTube で動画「ペル方程式の解の有無」を公開しました.
2023/01/25: YouTube で動画「ペル方程式とその応用」を公開しました.
2022/12/20: 「日曜数学 Advent Calendar $2022$」の $20$ 日目の記事として『角の二等分線に関する不定方程式とペル方程式の解』という記事を公開しました. 古典的ですが, 今年発見した新定理についてです. 高校生でも読める内容なので, ぜひご覧ください.
2022/05/02: 『高校数学至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』がエール出版社から発売になりました (オンライン・ストア: 5 月 4 日, 書店: ゴールデン・ウィーク明け). 定理の証明問題や, 特別な意味をもつ問題に特化した問題集です. 何の変哲もない計算問題を修行のように解くだけの問題演習から抜け出して, 一歩先のより本質的な問題を解くことで, 数学的センスを磨き, 真の実力をつけることができます. 全国の書店や, Amazon (こちら), 楽天ブックス (こちら) などのオンライン・ストアでお求めいただけます.
2022/04/26: 2022 年 5 月上旬,『高校数学至極の有名問題 240—文理対応・国公立大～難関大レベル』がエール出版社から発売になります. 受験生待望の“有名問題”からなる本格派問題集です. ホームページの問題集「有名問題・定理から学ぶ高校数学」から, 特に重要な問題を厳選しました. ただ今, Amazonで予約受付中です.
2022/04/12: ホームページのレイアウトを改善しました. これから 1 か月ほどかけて, サイドバーを含め, 各ページの改訂を行う予定です.
2022/04/05: 現行課程, 新課程のどちらでも使用できるように, 分野ごとに単元を並べ替えました. 新数学 A の「数学と人間活動」, 新数学 C の「数学的な表現の工夫」の内容は, 随所に散りばめられています.
2021/07/22: 課題学習のテーマをまとめました (こちらを参照). 随時更新していく予定です.
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